위상공간이란?
정의
위상공간 1
집합 $X$ 가 주어졌을 때 $\mathscr{T} \subset \mathscr{P} (X)$ 가 $T \in \mathscr{T}$ 에 대해 다음 세가지 조건을 만족하면 $\mathscr{T}$ 를 $X$ 의 위상topology이라 부르고, $\left( X , \mathscr{T} \right)$ 를 위상공간topological space이라 부른다.
- (i): $$\emptyset , X \in \mathscr{T}$$
- (ii): $$\displaystyle \bigcup_{ \alpha \in \forall } T_{\alpha} \in \mathscr{T}$$
- (iii): $$\displaystyle \bigcap_{ i= 1}^{n} T_{i} \in \mathscr{T}$$
조건 (i)~(iii)을 다시 말로 풀어써보면 아래와 같다:
- (i): $\mathscr{T}$ 는 공집합 $\emptyset$ 와 전체집합 $X$ 를 포함한다.
- (ii): $\mathscr{T}$ 의 원소의 합집합은 $\mathscr{T}$ 에 속한다.
- (iii): $\mathscr{T}$ 의 원소의 유한 교집합은 $\mathscr{T}$ 에 속한다.
개집합과 폐집합 2
- $O \in \mathscr{T}$ 를 열린 집합open set이라 정의한다.
- $C \subset X$ 에 대해 $ X \setminus C \in \mathscr{T}$ 이면 $C$ 를 닫힌 집합closed set이라 정의한다.
- 열린 집합인 동시에 닫힌 집합이면 열리고 닫힌 집합clopen set이라 한다.
설명
위상공간
정의 상 $\mathscr{T}$ 는 $\cup$ 와 $\cap$ 에 대해 닫혀있어서 대수 생각이 날테지만 이런 정의만으론 대수적인 성질을 찾기 어렵다.
벡터공간의 벡터가 고등학교 때 배운 것처럼 ‘힘과 방향을 가진 양’이 아니라 조건을 만족시키면 그냥 벡터가 되는 것처럼, 위상공간의 위상은 단순히 조건을 만족하는 부분집합의 집합으로써 일반화 된 것이다.
개집합과 폐집합
위상을 정의함과 동시에 열림과 닫힘 역시 새롭게 정의된다. 기존의 거리공간에서는 개구간과 폐구간에서 이어지는 개념으로써 직관적으로 정의했지만, 일반적인 위상은 집합을 이용하기 때문에 추상적이고 기상천외한 공간을 만들어낼 수 있다.
정의를 보면 열림은 위상의 개념을 빌어 완전히 새롭게 정의되었지만 닫힘은 거리 공간에서와 거의 똑같음을 알 수 있다.
위상과 열림, 닫힘의 정의에 따라 아래의 성질들을 쉽게 확인할 수 있다.
정리
- [1-1]: $\displaystyle \bigcup_{ \alpha \in \forall } O_{\alpha} \in \mathscr{T}$ 은 열린 집합이다.
- [1-2]: $\displaystyle \bigcap_{ i= 1}^{n} O_{i} \in \mathscr{T}$ 은 열린 집합이다.
- [2-1]: $\displaystyle \bigcap_{ \alpha \in \forall } C_{\alpha} \in \mathscr{T}$ 은 닫힌 집합이다.
- [2-2]: $\displaystyle \bigcup_{ i= 1}^{n} C_{i} \in \mathscr{T}$ 은 닫힌 집합이다.
- [3]: $\emptyset$ 과 $X$ 는 열린 집합이면서 닫힌 집합이다.
예제
이에 대해 아래의 예제를 보고 위상에 대한 감을 잡아 보도록 하자.
$X:=\left\{ a,b,c,d \right\}$ 에 대해 $\mathscr{T} : = \left\{ \emptyset , \left\{ b \right\} , \left\{ a, b \right\} , \left\{ b,c \right\} , \left\{ a,b,c \right\} , \left\{ a,b,c,d \right\} \right\}$ 는 $X$ 의 위상임을 보여라.
- (i): $\emptyset \in \mathscr{T}$ 이고 $\left\{ a,b,c,d \right\} =X \in \mathscr{T}$ 이다.
- (ii): 전체집합 $X$ 를 제외하고는 $d$ 가 쓰이지 않고 $\left\{ a,b,c \right\} \in \mathscr{T}$ 이다.
- (iii): 공집합 $\emptyset$ 을 제외하고는 모두 $b$ 를 공유하고 $\left\{ b \right\} \in \mathscr{T}$ 이다.
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