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위상공간이란? 📂위상수학

위상공간이란?

정의

위상공간 1

집합 XX 가 주어졌을 때 T⊂P(X)\mathscr{T} \subset \mathscr{P} (X) 가 T∈TT \in \mathscr{T} 에 대해 다음 세가지 조건을 만족하면 T\mathscr{T} 를 XX 의 위상topology이라 부르고, (X,T)\left( X , \mathscr{T} \right) 를 위상공간topological space이라 부른다.

  • (i): ∅,X∈T\emptyset , X \in \mathscr{T}
  • (ii): ⋃α∈∀Tα∈T\displaystyle \bigcup_{ \alpha \in \forall } T_{\alpha} \in \mathscr{T}
  • (iii): ⋂i=1nTi∈T\displaystyle \bigcap_{ i= 1}^{n} T_{i} \in \mathscr{T}

조건 (i)~(iii)을 다시 말로 풀어써보면 아래와 같다:

  • (i): T\mathscr{T} 는 공집합 ∅\emptyset 와 전체집합 XX 를 포함한다.
  • (ii): T\mathscr{T} 의 원소의 합집합은 T\mathscr{T} 에 속한다.
  • (iii): T\mathscr{T} 의 원소의 유한 교집합은 T\mathscr{T} 에 속한다.

개집합과 폐집합 2

  1. O∈TO \in \mathscr{T} 를 열린 집합open set이라 정의한다.
  2. C⊂XC \subset X 에 대해 X∖C∈T X \setminus C \in \mathscr{T} 이면 CC 를 닫힌 집합closed set이라 정의한다.
  3. 열린 집합인 동시에 닫힌 집합이면 열리고 닫힌 집합clopen set이라 한다.

설명

위상공간

정의 상 T\mathscr{T} 는 ∪\cup 와 ∩\cap 에 대해 닫혀있어서 대수 생각이 날테지만 이런 정의만으론 대수적인 성질을 찾기 어렵다.

벡터공간의 벡터가 고등학교 때 배운 것처럼 ‘힘과 방향을 가진 양’이 아니라 조건을 만족시키면 그냥 벡터가 되는 것처럼, 위상공간의 위상은 단순히 조건을 만족하는 부분집합의 집합으로써 일반화 된 것이다.

개집합과 폐집합

위상을 정의함과 동시에 열림과 닫힘 역시 새롭게 정의된다. 기존의 거리공간에서는 개구간과 폐구간에서 이어지는 개념으로써 직관적으로 정의했지만, 일반적인 위상은 집합을 이용하기 때문에 추상적이고 기상천외한 공간을 만들어낼 수 있다.

정의를 보면 열림은 위상의 개념을 빌어 완전히 새롭게 정의되었지만 닫힘은 거리 공간에서와 거의 똑같음을 알 수 있다.

위상과 열림, 닫힘의 정의에 따라 아래의 성질들을 쉽게 확인할 수 있다.

정리

  • [1-1]: ⋃α∈∀Oα∈T\displaystyle \bigcup_{ \alpha \in \forall } O_{\alpha} \in \mathscr{T} 은 열린 집합이다.
  • [1-2]: ⋂i=1nOi∈T\displaystyle \bigcap_{ i= 1}^{n} O_{i} \in \mathscr{T} 은 열린 집합이다.
  • [2-1]: ⋂α∈∀Cα∈T\displaystyle \bigcap_{ \alpha \in \forall } C_{\alpha} \in \mathscr{T} 은 닫힌 집합이다.
  • [2-2]: ⋃i=1nCi∈T\displaystyle \bigcup_{ i= 1}^{n} C_{i} \in \mathscr{T} 은 닫힌 집합이다.
  • [3]: ∅\emptyset 과 XX 는 열린 집합이면서 닫힌 집합이다.

예제

이에 대해 아래의 예제를 보고 위상에 대한 감을 잡아 보도록 하자.

X:={a,b,c,d}X:=\left\{ a,b,c,d \right\} 에 대해 T:={∅,{b},{a,b},{b,c},{a,b,c},{a,b,c,d}}\mathscr{T} : = \left\{ \emptyset , \left\{ b \right\} , \left\{ a, b \right\} , \left\{ b,c \right\} , \left\{ a,b,c \right\} , \left\{ a,b,c,d \right\} \right\} 는 XX 의 위상임을 보여라.

  • (i): ∅∈T\emptyset \in \mathscr{T} 이고 {a,b,c,d}=X∈T\left\{ a,b,c,d \right\} =X \in \mathscr{T} 이다.
  • (ii): 전체집합 XX 를 제외하고는 dd 가 쓰이지 않고 {a,b,c}∈T\left\{ a,b,c \right\} \in \mathscr{T} 이다.
  • (iii): 공집합 ∅\emptyset 을 제외하고는 모두 bb 를 공유하고 {b}∈T\left\{ b \right\} \in \mathscr{T} 이다.

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  1. Munkres. (2000). Topological(2nd Edition): p76. ↩︎

  2. Munkres. (2000). Topology(2nd Edition): p93. ↩︎