거리공간에서 연속과 균등연속
정의
두 거리 공간 $\left( X , d_{X} \right)$, $\left( Y , d_{Y} \right)$와 부분집합 $E\subset X$ 에 대해 함수 $f : E \to Y$ 를 정의하자.
$p \in E$라고 하자. 임의의 $\varepsilon > 0$ 에 대해
$$ x \in E \quad \text{and} \quad d_{X}(p, x ) < \delta \implies d_{Y}(f(p) , f(x) ) < \varepsilon $$
을 만족하는 $\delta>0$ 가 존재하면 $f$ 는 $p \in E$ 에서 연속이라 한다. $f$가 $E$ 의 모든 점에서 연속이면 $f$를 $E$ 위에서의 연속함수continuous function라 한다.
임의의 $ \varepsilon > 0$ 에 대해
$$ d_{X}(x_{1}, x_{2} ) < \delta \land x_{1}, x_{2} \in E \implies d_{Y}(f(x_{1}) , f(x_{2}) ) < \varepsilon $$
을 만족하는 $\delta>0$ 가 존재하면 $f$가 $E$ 위에서 균등연속uniformly continuous이라 한다.
- $\land$ 는 논리적으로 ‘그리고’를 나타내는 논리곱 기호다.
설명
연속과 균등연속은 $\mathbb{R}$ 을 넘어서서 거리공간에 대해서도 정의할 수 있다. $\mathbb{R}$ 에서의 연속과 다른 것은 $d_{1}$ 과 $d_{2}$ 를 다르게 주는일반화가 가능하다는 것이다.
한편 좀 더 어려운 표현으로, 볼을 사용해서 임의의 $B_{d_{Y}} (f(p) , \varepsilon )$ 에 대해 $f(B_{d_{X}} (p , \delta)) \subset B_{d_{Y}} (f(p) , \varepsilon )$ 를 만족하는 $B_{d_{X}} (p , \delta)$ 가 존재할 때 $f$ 가 $p \in X$ 에서 연속이라고도 할 수 있다. 처음 보기에는 너무 추상적이라서 거부감이 들 수 있지만, 계속 보다보면 오히려 이 표현이 더 편해질 것이다. 위상공간으로의 일반화를 생각해보면 미리미리 익숙해져놓는게 더 좋을지도 모른다.
정리: 연속함수일 동치 조건
함수 $f:X \to Y$ 에 대해 아래의 조건들은 서로 동치다.
$f : X \to Y$ 는 연속이다.
$\forall x \in X,\ \displaystyle \lim_{n \to \infty} p_{n} = p \implies \lim_{n \to \infty} f(p_{n}) = f(p)$
$Y$ 의 모든 열린 집합 $O$ 에 대해, $f^{-1} ( O )$ 는 $X$ 에서 열린 집합이다.
$Y$ 의 모든 닫힌 집합 $C$ 에 대해, $f^{-1} ( C )$ 는 $X$ 에서 닫힌 집합이다.
이와 같은 성질들은 주어진 함수가 연속임을 보이는 등에 유용하게 쓰일 수 있다.
위 그림을 보면 언뜻 네번째 조건의 반례처럼 보인다. 폐구간 $[c,d]$ 에 대해 그 프리이미지 $f^{-1} [c,d]$ 가 $(a,b)$ 고, 알다시피 $(a,b)$ 는 개구간이기 때문이다. 그러나 $f : (a,b) \to \mathbb{R}$ 이므로 $(a,b)$ 는 전체공간이 되고, 전체공간은 닫힌 집합이므로 명제에 위배되지 않는다.