📂거리공간

거리공간에서의 내부 폐포 경계

정의

거리공간 $\left( X, d \right)$ 에 대해 $A \subset X$ 라고 하자.

• $x \in O \subset A$ 를 만족하는 열린 집합 $O$ 가 존재할 때, $x$ 를 $A$ 의 내점^{interior point}이라 한다.

• $A$ 의 내점의 집합 $A^{\circ}$ 를 $A$ 의 내부^interior라 한다.

• $A$ 와 그 도집합의 합집합 $\overline{A} : = A \cup a '$ 를 $A$ 의 폐포^closure라 한다.

• $x \in \overline{A}$ 이면서 $x \in \overline{X \setminus A}$ 일 때, $x$ 를 $A$ 의 경계점^{boundary point}라 한다.

• $\partial A : = \overline{A} \cap \overline{X \setminus A}$ 를 $A$ 의 경계^boundary라 한다.

설명

굳이 정의할 필요는 없지만, 인테리어와 대비되는 $\overline{A}$ 밖의 집합을 익스테리어^exterior라 부른다.

열린 집합과 위의 개념들을 다르게 정의할 수도 있지만 본질적으로는 같다.

정의야 찬찬히 읽어보면 누구나 이해할 수 있는 것들이고, 그림을 통해 빠르게 이해해보도록 하자.

$$A$$

주어진 집합이 위와 같을 때 각 개념들을 생각해보자.

$$A^{\circ}$$

인테리어는 $A$ 가 포함하는 $X$ 의 부분 집합 중 가장 큰 열린 집합이다.

$$\overline{A}$$

클로져는 $A$ 를 포함하는 $X$ 의 부분 집합 중 가장 작은 닫힌 집합이다.

$$\partial A$$

바운더리는 클로져에서 인테리어를 뺀 $X$ 의 부분 집합이라고 볼 수 있다.

인테리어와 클로져는 구분이 별로 어렵지 않지만 바운더리는 언뜻 점선이냐 실선이냐에 따라 헷갈릴 수 있다. 테두리라면 그냥 얄짤없이 바운더리로 생각하면 된다.

한편 이러한 정의를 통해 사실상 아래의 성질들을 열린 집합과 닫힌 집합의 정의로 볼 수 있다.

성질: 열린 집합과 닫힌 집합

$A$ 가 거리 공간 $X$ 의 부분 집합이라고 하자.

• $A$ 가 열린 집합인 것과 $A = A^{\circ}$ 는 동치다.

• $A$ 가 닫힌 집합인 것과 $A = \overline{A}$ 는 동치다.

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물론 위의 성질들은 증명이 가능하지만 그냥 팩트로써 받아들여도 무방하다.