거리공간에서 볼과 열린 집합 닫힌 집합
정의
거리 공간 $\left( X, d \right)$ 에 대해 $a \in X$ 이고 $r > 0$ 이라고 하자.
- $B_{d} (a,r) = \left\{ x \in X \ | \ d(a,x) < r \right\}$ 을 중심이 $a$ 고 반경이 $r$ 인 열린 볼open Ball이라 한다.
- $B_{d} [a,r] = \left\{ x \in X \ | \ d(a,x) \le r \right\}$ 을 중심이 $a$ 고 반경이 $r$ 인 닫힌 볼closed Ball이라 한다.
- $O \subset X$ 가 열린 볼의 합집합이면 $O$ 를 $X$ 에서 열린 집합open set이라 한다.
- $C \subset X$ 에 대해 $X \setminus C$ 가 열린 집합이면 $C$ 를 $X$ 에서 닫힌 집합closed set이라 한다.
설명
열린 집합과 닫힌 집합은 다르게 정의할 수도 있지만 본질적으로는 같다.
볼이란 구간과 개구간, 폐구간을 일반화한 개념으로써, 구간 역시 $1$차원 볼이라는 것을 생각해보면 당연한 이야기라고 할 수 있다. 물론 유클리드 공간 $\mathbb{R}$ 의 차원에 대한 일반화 수준에서 끝나는 것은 아니고 거리만 제대로 주어진다면 어디서든 잘 정의된다.
열린 집합과 닫힌 집합은 일반적으로 아래의 성질들을 만족한다.
성질
전공간 $X$ 상의 열린 집합을 $O_{\alpha}$ , 닫힌 집합을 $C_{\alpha}$ 이라고 하자.
- [1]: $X$ 와 $\emptyset$ 은 열려있으면서 닫혀있다.
- [2]: 열린 집합의 합집합 $\displaystyle \bigcup_{\alpha \in \forall} O_{\alpha}$ 은 $X$ 에서 열린 집합이다.
- [3]: 열린 집합의 유한 교집합 $\displaystyle \bigcap_{i = 1}^{n} O_{i} $ 은 $X$ 에서 열린 집합이다.
- [4]: 닫힌 집합의 교집합 $\displaystyle \bigcap_{\alpha \in \forall} C_{\alpha}$ 은 $X$ 에서 닫힌 집합이다.
- [5]: 닫힌 집합의 유한 합집합 $\displaystyle \bigcup_{i = 1}^{n} C_{i}$ 은 $X$ 에서 닫힌 집합이다.
[3]에서 유한이라는 조건이 없다면 $\displaystyle \bigcap_{n = 1}^{ \infty } \left( -{{1} \over {n}} , {{1} \over {n}} \right) = \left\{ 0 \right\}$ 라는 반례를 들 수 있다. [5] 에서 유한이라는 조건이 없다면 $\displaystyle \bigcup_{n = 1}^{ \infty } \left[ 0 , 1-{{1} \over {n}} \right] = [ 0 , 1 )$ 라는 반례를 들 수 있다.
증명
[1]
이 포스트에서 소개한다.
[2]~[5]
이 포스트에서 소개한다.