📂位相幾何学

ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの性質と集積点コンパクト

定義 ¹

位相空間 $X$のすべての無限部分集合の集積点が$X$に属するとき、$X$はボルツァーノ・ワイエルシュトラスの性質を持つといい、または集積点コンパクトであるという。

定理

説明

例えば$[a,b]$は集積点コンパクトであるが、$(a,b)$は集積点コンパクトではない。また$\mathbb{Q}$は $$ P = \left\{ 3 , 3.1 , 3.14 , 3.141, 3.1415, \cdots \right\} $$ のような無限部分集合を考えてみると$\pi \notin P$であるため、集積点コンパクトではない。$\mathbb{R}$はこのような部分集合を持つため、当然集積点コンパクトではない。

不思議なのは、集積点コンパクトという名前とは異なり、定義ではコンパクトということが全く言及されていないという点である。名前だけを見れば、コンパクト空間の中で特別な場合を集積点コンパクトというように思えるが、実際にはその逆である定理1だけが成り立つ。

集積点コンパクトのもう一つの意義としては、定理2のようにある距離空間がコンパクトであることを示すのに使える。距離空間がコンパクトであることを示せば連続関数の一様連続が保証されるため、有用であることは言うまでもないだろう。