📂거리공간

거리공간에서 컴팩트이면 닫혀있고 유계이다

정리

거리공간 $(X, d)$의 컴팩트 부분 집합 $K$는 유계이고 닫힌 집합이다.

설명

역은 일반적으로 성립하지 않는다. 유클리드 공간에서는 역이 성립한다.

증명

유계¹

귀류법으로 증명한다. $K$가 유계가 아니라 가정해보자. 그리고 거리공간에서 컴팩트인 것은 수열컴팩트인 것과 같으므로 $K$는 수열컴팩트이다.

수열 컴팩트

거리 공간 $X$가 수열 컴팩트^{sequentially compact}라는 것은, $X$의 모든 수열 $\left\{ x_{n} \right\}$이 $X$의 점으로 수렴하는 부분 수열 $\left\{ x_{n_{k}} \right\}$를 가진다는 것을 말한다.

$K$는 유계가 아니므로, 고정된 $b \in X$에 대해서 $d(y_{n}, b) \gt n$을 만족하는 유계가 아닌 수열 $\left\{ y_{n} \in M \right\}$이 존재한다. $K$가 수열컴팩트이므로 이 수열은 수렴하는 부분 수열을 가지고 이 부분수열은 $\left\{ y_{n} \right\}$의 성질에 의해 마찬가지로 유계가 아니다. 그런데 거리공간에서 수렴하는 수열은 유계이므로 이는 모순이다. 따라서 가정이 잘못되었고, $K$는 유계이다.

닫힘²

$K$를 거리공간 $X$의 컴팩트 부분 집합이라고 하자. 여기서 $K^{c}$가 열려있음을 보이면, 열린 집합의 여집합은 닫힌 집합이므로, $K$는 닫힌 집합이다. $K^{c}$가 오픈인 것은 보이려면 $K^{c}$의 모든 점이 내점임을 보이면 된다. 이제 $p \in K^{c}$라고 하자. 그리고 $q\in K$에 대해서 $V_{q}$와 $W_{q}$를 각각 반경이 ${\textstyle \frac{1}{2}}d(p,q)$보다 작은 $p$와 $q$의 근방이라고 하자. $V$는 $p$의 근방인데 인덱스로 $q$를 쓰는 이유는 고정된 $p\in K^{c}$에 대해서 임의의 $q\in K$가 주어질 때 마다 $q$와의 거리에 따라 정해지는 $p$의 반경이기 때문이다. 글로 이해가 잘되지 안된다면 아래 그림을 보자.

이제 $\left\{ W_{q} \right\}_{q\in K}$를 생각해보자. 이는 $K$의 오픈 커버가 된다. 가정에 의해 $K$가 컴팩트이므로 아래의 식을 만족하는 어떤 $q_{1},\cdots,q_{n}$이 존재한다.

$$K \subset W_{q_{1}}\cup \cdots \cup W_{q_{n}}=W$$

그리고 $V=V_{q_{1}}\cap \cdots \cap V_{q_{n}}$라고 두자. 그러면 $V$는 여전히 $p$의 근방이다. 또한 처음 $V_{q}$, $W_{q}$를 잡아올 때 거리를 잘 뒀기 때문에 $V\cap W=\varnothing$이라는 것을 알 수 있다. 그러면 $W$는 $K$의 오픈 커버이기 때문에 다음이 성립한다.

$$V \subset K^{c}$$

임의의 $p\in K^{c}$에 가 항상 $K^{c}$에 포함되는 근방을 가지고 있기 때문에 모든 $p \in K^{c}$는 $K^{c}$의 내점이다. 따라서 $K^{c}$는 열린 집합이고, $K$는 닫힌 집합이다.

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