📂미분적분학

미분적분학에서 롤의 정리 증명

정리¹

함수 $f(x)$ 가 $[a,b]$ 에서 연속이고 $(a,b)$ 에서 미분가능하며 $f(a)=f(b)$ 면 $f ' (c)=0$ 를 만족하는 $c$ 가 $(a,b)$ 에 적어도 하나 존재한다.

설명

고등학교 과정에선 평균값의 정리만을 증명하기 위한 보조정리 정도로 소개되고 실제로 그 외엔 전혀 쓰이지 않지만, 고등학교 수준을 벗어나서는 종종 보조정리로써 사용될 때가 있다. 평균값의 정리가 더욱 일반적인 것은 사실이지만, $\displaystyle f '(c) = {{f(b) - f(a)} \over {b - a}}$ 와 같이 복잡한 꼴을 사용할 필요가 없을 때는 증명을 더욱 간결하게 만들어준다.

증명

Strategy: $f(x)$ 가 상수함수인 경우와 아닌 경우 두 가지로 나누어서 페르마의 정리를 적용한다.

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• Case 1. $f(x)$ 가 상수함수

  $f ' (x)=0$ 이므로 $f ' (c)=0$ 을 만족하는 $c$ 가 $(a,b)$ 에 적어도 하나 존재한다.

• Case 2. $f(x)$ 가 상수함수가 아닐 때

  $f(x)$ 는 극대나 극소를 갖고 $(a,b)$ 에서 미분가능하므로 극점 $c$ 에 대해 $f ' (c)$ 가 존재한다.

  페르마의 정리

  함수 $f(x)$ 가 $x=c$ 에서 극대 혹은 극소면서 $f ' (c)$ 가 존재하면 $f ' (c) = 0$

  극점 $c$ 는 페르마의 정리에 의해 $f ' (c) = 0$ 을 만족해야한다.

따라서 $f(x)$ 가 상수함수든 아니든 $f ' (c)=0$ 를 만족하는 $c$ 가 $(a,b)$ 에 적어도 하나 존재한다.

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