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이중 근호 전개 공식

공식

$a \gt b$일 때,

$$\sqrt{a + b \pm 2\sqrt{a b}} = \sqrt{a} \pm \sqrt{b}$$

설명

루트가 두 개라 풀기 엄청 어려울 것 같지만, 완전제곱꼴로 바로 풀린다.

예제

$$\begin{align*} \sqrt{13 - 2\sqrt{12}} &= \sqrt{12 + 1 - 2\sqrt{12 \cdot 1}} \\ &= \sqrt{(\sqrt{12})^{2} + (\sqrt{1})^{2} - 2\sqrt{12}\sqrt{1}} \\ &= \sqrt{(\sqrt{12} - \sqrt{1})^{2}} \\ &= \sqrt{12} - \sqrt{1} \\ &= 2\sqrt{3} - 1 \\ \end{align*}$$

증명

$$\begin{align*} \sqrt{a + b \pm 2\sqrt{a b}} &= \sqrt{(\sqrt{a})^{2} + (\sqrt{b})^{2} \pm 2\sqrt{a}\sqrt{b}} \\ &= \sqrt{(\sqrt{a} \pm \sqrt{b})^{2}} \\ &= \sqrt{a} \pm \sqrt{b} \end{align*}$$

두번째 등호에서 곱셈공식 $(a \pm b)^{2} = a^{2} + b^{2} \pm 2 ab$가 사용되었다.

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