콜레스키 분해의 유일성 증명
정리
$A>0$ 은 오직 하나의 콜레스키 분해를 가진다.
설명
고유값 대각화, 특이값 분해, 슈어 분해, LU 분해, LDU 분해 모두 유일성을 가지지 않는다는 공통점이 있다. 이 방법들은 모두 고유값과 고유벡터의 관계를 이용하거나 $1 = a \dfrac{1}{a}$ 이므로 $L$ 이나 $U$ 에 나눠줄 수 있기 때문이다.
하지만 콜레스키 분해는 고유값의 개념을 사용하지 않고 $A=LL^{T}$ 로 나타나므로 $1$ 을 둘로 쪼개서 나눠줄 수가 없다. 이렇게 상식적인 이야기를 조금 꼼꼼하게 어렵게 쓰면 증명이 바로 완성된다.
증명
$A$ 는 양의 정부호이므로 가역행렬이고, $A:=LDL^{T}$ 를 만족하는 하삼각행렬 $L$ 과 대각행렬 $D$ 가 존재한다.
$A=LDL^{T}$ 의 양변의 왼쪽에 $\mathbf{x}^{T} \ne \mathbb{0}$ 를, 오른쪽에 $\mathbf{x}$ 를 곱하면
$$ \mathbf{x}^{T} A \mathbf{x} = \mathbf{x}^{T} LDL^{T} \mathbf{x} = (L^{T} \mathbf{x})^{T} D (L^{T} \mathbf{x}) >0 $$
따라서 $D$ 는 양의 정부호 행렬이고, 고유값이 모두 양수이므로 대각성분은 모두 양수다.
그러면
$$ D^{ 1/2 } := \text{diag} (\sqrt{d_{11}} , \sqrt{d_{22}} , \cdots , \sqrt{d_{nn}} ) $$
을 정의할 수 있고, $D = D^{ 1/2 } D^{ 1/2 }$ 이 될 것이다.
$$ A = L D L^{T} = L D^{ 1/2 } D^{ 1/2 } L^{T} $$
에서 $\overline{L} := LD^{ 1/2 }$ 로 정의하면
$$ A = \overline{L} \overline{L}^{T} $$
이러한 $\overline{L}$ 은 유일하므로, 콜레스키 분해도 유일하다.
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