一般化平均
定義1
$0$でない実数$p$と$n$個の正数$x_{1}, \dots, x_{n}$に対して、次の値をこれらの一般化平均generalized mean、あるいはべき平均power meanという。
$$ M_{p}(x_{1}, \dots, x_{n}) := \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_{i}^{p} \right)^{1/p} $$
$p = 0$と$p = \pm\infty$に対しては極限で定義する。
$$ M_{0} := \lim_{p \to 0} M_{p}, \qquad M_{\pm\infty} := \lim_{p \to \pm\infty} M_{p} $$
説明
一般化平均は算術平均、幾何平均などを含む平均の一般的な定義である。「各値を$p$乗して算術平均を取ったのち、再び$1/p$乗で戻したもの」であり、$p$をどう選ぶかによって下の表のように馴染みのある平均がすべて得られる。
| 名前 | 指数 | 値 |
|---|---|---|
| 最小値 | $p = -\infty$ | $\min (x_{1}, \dots, x_{n})$ |
| 調和平均 | $p = -1$ | $n \left( \sum_{i=1}^{n} x_{i}^{-1} \right)^{-1}$ |
| 幾何平均 | $p = 0$ | $\sqrt[n]{x_{1} x_{2} \cdots x_{n}}$ |
| 算術平均 | $p = 1$ | $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_{i}$ |
| 二乗平均平方根root mean square, RMS | $p = 2$ | $\sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}}$ |
| 最大値 | $p = \infty$ | $\max (x_{1}, \dots, x_{n})$ |
指数$p$が大きくなるほど大きい値が和$\sum x_{i}^{p}$を支配するので$M_{p}$は大きい値の方へ引き寄せられ、逆に$p$が小さくなるほど小さい値の方へ引き寄せられる。そしてその両端がそれぞれ最大値($p = \infty$)と最小値($p = -\infty$)である。実際にデータを固定して$M_{p}$を$p$の関数として見ると連続かつ単調増加であり、これをべき平均不等式power mean inequalityという。
$$ p \le q \implies M_{p} \le M_{q} $$
ここで$p = -1, 0, 1$である特殊な場合が、よく知られた算術平均、幾何平均、調和平均の間の不等式 $M_{-1} \le M_{0} \le M_{1}$である。
下の図は二つの数$1$と$x$の一般化平均$M_{p}(1, x)$を$x$の関数として描いたものである。べき平均不等式のとおり、どの$x$においても$p$が大きい曲線ほど上に位置し、下の最小値($p = -\infty$)から上の最大値($p = \infty$)まで曲線が順に並んでいるのが見て取れる。
次の図は$10$個の値からなるデータを棒グラフで描き、代表的な$p$に対するp-平均を水平線で表したものである。
性質
以下の性質を証明なしに紹介する。
(a) $p \to 0$のとき幾何平均に収束する。
$$ \lim_{p \to 0} M_{p} = \sqrt[n]{x_{1} x_{2} \cdots x_{n}} $$
(b) $p \to \infty$のとき最大値に収束する。
$$ \lim_{p \to \infty} M_{p} = \max (x_{1}, \dots, x_{n}) $$
(c) $p \to -\infty$のとき最小値に収束する。
$$ \lim_{p \to -\infty} M_{p} = \min (x_{1}, \dots, x_{n}) $$
(d) p-平均は常に最小値と最大値の間にある。
$$ \min (x_{1}, \dots, x_{n}) \le M_{p}(x_{1}, \dots, x_{n}) \le \max (x_{1}, \dots, x_{n}) $$
(e) 正数$b > 0$に対して同次性homogeneityを持つ。
$$ M_{p}(b x_{1}, \dots, b x_{n}) = b \cdot M_{p}(x_{1}, \dots, x_{n}) $$