📂측도론

가측함수로 수렴하는 단순함수열의 존재성

정리¹

$(X, \mathcal{E})$를 가측공간이라 하자.

1. $f : X \to [0, \infty]$가 가측함수이면, 다음을 만족하는 단순함수들의 수열 $\left\{ \phi_{n} \right\}$이 존재한다. $$ 0 \le \phi_{1} \le \phi_{2} \le \cdots \le f \quad \text{and} \quad \phi \to f $$ 만약 $f$가 유계이면, $$ \phi \rightrightarrows f $$

여기서 $\phi \to f$는 점별수렴, $\phi \rightrightarrows f$는 균등수렴을 의미한다.

2. $f : X \to \mathbb{C}$가 가측함수이면, 다음을 만족하는 단순함수들의 수열 $\left\{ \phi_{n} \right\}$이 존재한다. $$ 0 \le \left| \phi_{1} \right| \le \left| \phi_{2} \right| \le \cdots \le \left| f \right| \quad \text{and} \quad \phi \to f $$ 만약 $f$가 유계이면, $$ \phi \rightrightarrows f $$

증명

실함수에 대해서만 증명한다.

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$n = 0, 1, 2, \dots$와 $0 \le k \le 2^{2n} -1$에 대해서, $E_{n}^{k}$와 $F_{n}$을 다음과 같이 두자.

$$ E_{n}^{k} = f^{-1}\left( (k2^{-n}, (k+1)2^{-n}] \right) \quad \text{ and } \quad F_{n} = f^{-1}\left( (2^{n}, \infty] \right) $$

그리고 $\phi_{n}$을 아래와 같이 정의하자.

$$ \phi_{n} = \sum\limits_{k=0}^{2^{2n} -1}k2^{-n}\chi_{E_{n}^{k}} + 2^{n}\chi_{F_{n}} $$

$\chi$는 특성함수이다. 수식으로만 보면 이해가 어려울텐데, 아래의 그림을 보자.

왼쪽의 그림은 어떤 $f$와 $phi_{0}$를, 오른쪽의 그림은 $f$와 $\phi_{1}$를 그려놓은 것이다. $n=0$일 때부터 하나씩 생각해보면 $\phi_{n}$이 어떻게 만들어지는지 이해하기 쉬울 것이다.

그러면 정의에 의해 $\phi_{n} \le \phi_{n+1}$이 성립한다. 또한 $f \le 2^{n}$일 경우에 $f - \phi_{n} \le 2^{-n}$이 성립한다 (위의 그림을 보라).

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