고전정보이론에서 상대적 엔트로피(쿨백-라이블러 발산)란?
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이산확률변수 $X$의 확률질량함수 $p, q$에 대해서, $p$의 $q$에 관한 상대적 엔트로피relative entropy를 다음과 같이 정의한다.
$$ D(p \| q) := \sum p(x) \log_{2} \dfrac{p(x)}{q(x)} \tag{1} $$
이때 $p \ne 0$에 대해서, $p \log_{2}(\frac{p}{0}) := \infty$로 정의한다.
연속확률변수에 대해서는 적분으로 정의된다.
$$ D(p \| q) := \int p(x) \ln \dfrac{p(x)}{q(x)} dx $$
설명
상대적 엔트로피는 쿨백-라이블러 발산Kullback-Leibler divergence (KLd)이라고도 하며 다음과 같은 표기법들이 쓰인다.
$$ D(p \| q) = D_{\text{KL}}(p \| q) = H(p \| q) $$
$D(p \| q)$는 ($X$의 실제 분포가 $p$일 때) $X$의 분포를 $q$라고 가정하는 것이 얼마나 좋지 않은지, 다시말해 $q$가 $p$와 얼마나 다른지를 재는 척도이다. $-\log q$가 $q$의 정보량을 의미하므로, 정의 $(1)$은 $q$와 $p$의 정보의 차이의 평균을 의미한다.
$$ \begin{align*} \sum p(x) \log_{2} \dfrac{p(x)}{q(x)} &= \sum p(x) \big[ -\log_{2}q(x) - (-\log_{2}p(x)) \big] \\ &= \sum p(x) \big[ I(q(x)) - I(p(x)) \big] \\ &= E \big[ I(q) - I(p) \big] \end{align*} $$
성질
비대칭성Non-symmetry $$ D(p \| q) \ne D(q \| p) $$
Non-negativity $$ D(p \| q) \ge 0 $$ 등호는 $p = q$일 때 성립한다.
증명
2.
$p=q$이면 정의에 의해 $D(p \| q) = 0$이므로 $p \ne q$에 대해 생각하자.
$$ \begin{align*} -D(p \| q) &= \sum p(x) \log_{2} \dfrac{q(x)}{p(x)} \\ &\le \log_{2} \left( \sum p(x) \dfrac{q(x)}{p(x)} \right) \\ &= \log_{2} \left( \sum q(x) \right) \\ &= \log_{2} 1 \\ &= 0 \end{align*} $$
부등호는, 로그함수가 오목이므로, 옌센 부등식에 의해 성립한다.
옌센 부등식
$f$가 오목함수이면, 다음이 성립한다. $\sum_{k=1}^{n} \lambda_{k} = 1$에 대해서,
$$ f\left( \sum\limits_{k=1}^{n}\lambda_{k}x_{k} \right) \ge \sum\limits_{k=1}^{n} \lambda_{k} f(x_{k}) $$
그러므로 양변에 마이너스를 곱하면,
$$ 0 \le D(p \| q) $$
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