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선형변환의 합과 상수배의 행렬표현 📂선형대수

선형변환의 합과 상수배의 행렬표현

정리

V,WV, W를 순서기저 β,γ\beta, \gamma가 주어진 유한차원 벡터공간이라고 하자. 그리고 T,U:V→WT, U : V \to W라고 하자. 그러면 다음이 성립한다.\\[0.5em]

  • [T+U]βγ=[T]βγ+[U]βγ[T + U]_{\beta}^{\gamma} = [T]_{\beta}^{\gamma} + [U]_{\beta}^{\gamma}

  • [aT]βγ=a[T]βγ[aT]_{\beta}^{\gamma} = a[T]_{\beta}^{\gamma}

이때 [T]βγ[T]_{\beta}^{\gamma}는 TT의 행렬표현이다.

증명

두 증명이 비슷하므로 첫번째 등식만 증명한다. β={v1,…,vn}\beta = \left\{ \mathbf{v}_{1}, \dots, \mathbf{v}_{n} \right\}이고 γ={w1,…,wm}\gamma = \left\{ \mathbf{w}_{1}, \dots, \mathbf{w}_{m} \right\}이라고 하자. 그러면 기저 표현의 유일성에 따라 다음을 만족하는 스칼라 aij,bija_{ij}, b_{ij}가 유일하게 존재한다.

T(vj)=∑i=1maijwiandU(vj)=∑i=1mbijwi T(\mathbf{v}_{j}) = \sum_{i=1}^{m}a_{ij}\mathbf{w}_{i} \quad \text{and} \quad U(\mathbf{v}_{j}) = \sum_{i=1}^{m}b_{ij}\mathbf{w}_{i}

따라서

(T+U)(vj)=T(vj)+U(vj)=∑i=1maijwi+∑i=1mbijwi=∑i=1m(aij+bij)wi (T + U)(\mathbf{v}_{j}) = T(\mathbf{v}_{j}) + U(\mathbf{v}_{j}) = \sum_{i=1}^{m}a_{ij}\mathbf{w}_{i} + \sum_{i=1}^{m}b_{ij}\mathbf{w}_{i} = \sum_{i=1}^{m}(a_{ij} + b_{ij})\mathbf{w}_{i}

그러므로

([T+U]βγ)ij=aij+bij=([T]βγ)ij+([U]βγ)ij ([T + U]_{\beta}^{\gamma})_{ij} = a_{ij} + b_{ij} = ([T]_{\beta}^{\gamma})_{ij} + ([U]_{\beta}^{\gamma})_{ij}

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