📂추상대수

일반선형군

정의

$n \times n$ 실수 가역 행렬들의 집합을 $\mathrm{GL}(n, \mathbb{R})$ 혹은 $\mathrm{GL}_{n}(\mathbb{R})$이라 표기하고 $n$차 일반선형군^{general linear group of degree $n$}이라 한다.

$$\mathrm{GL}(n, \mathbb{R}) := \left\{ n \times n \text{ invertible matrix} \right\} = M_{n \times n}(\mathbb{R}) \setminus {\left\{ A \in M_{n \times n}(\mathbb{R}) : \det{A} = 0 \right\}}$$

일반화

$V$를 $n$차원 벡터공간이라 하자. 일반선형군 $\operatorname{GL}(V)$를, $V$ 위의 자기동형사상들의 집합으로 정의한다.

$$\operatorname{GL}(V) := \left\{ \phi : V \to V \text{ is linear and bijective} \right\}$$

혹은 $\operatorname{Aut}(V)$로 표기하기도 한다.

설명

$\mathrm{GL}(n, \mathbb{R})$

가역 행렬들만 모아놨으므로, 행렬 곱셈에 대해서 군이 된다. 또한 미분가능한 구조를 갖기 때문에 리 군이다.

$\operatorname{GL}(V)$

$\phi$가 선형사상이라는 것은, 대수의 관점에서 봤을 때 연산이 보존된다는 말이다. 군 $(V, +)$에 대해서,

$$\phi(v_{1}, v_{2}) = \phi(v_{1}) + \phi(v_{2}) \quad \text{for all } v_{1}, v_{2} \in V$$