일반선형군

정의

$n \times n$ 실수 가역 행렬들의 집합을 $\operatorname{GL}(n, \mathbb{R})$ 혹은 $\operatorname{GL}_{n}(\mathbb{R})$이라 표기하고 $n$차 일반선형군^{general linear group of degree $n$}이라 한다.

$$ \begin{align*} \operatorname{GL}(n, \mathbb{R}) &:= \left\{ n \times n \text{ invertible matrix} \right\} \\ &= M_{n \times n}(\mathbb{R}) \setminus {\left\{ A \in M_{n \times n}(\mathbb{R}) : \det{A} = 0 \right\}} \\ &= {\left\{ A \in M_{n \times n}(\mathbb{R}) : \det{A} \ne 0 \right\}} \end{align*} $$

일반화

$V$를 $n$차원 벡터공간이라 하자. 일반선형군 $\operatorname{GL}(V)$를, $V$ 위의 자기동형사상들의 집합으로 정의한다.

$$ \operatorname{GL}(V) := \left\{ \phi : V \to V \text{ is linear and bijective} \right\} $$

혹은 $\operatorname{Aut}(V)$로 표기하기도 한다.

설명

종류 \ 조건	가역행렬	행렬식=1	직교성	공간
일반선형군 $\operatorname{GL}(n, \mathbb{R})$	✅	❌	❌	$\mathbb{R}$
특수선형군 $\operatorname{SL}(n, \mathbb{R})$	✅	✅	❌	$\mathbb{R}$
직교군 $\operatorname{O}(n)$	✅	❌	✅	$\mathbb{R}$
특수직교군 $\operatorname{SO}(n)$	✅	✅	✅	$\mathbb{R}$
유니터리군 $\operatorname{U}(n)$	✅	❌	✅	$\mathbb{C}$
특수유니터리군 $\operatorname{SU}(n)$	✅	✅	✅	$\mathbb{C}$

이름 그대로 $\operatorname{GL}(V)$는 군이 되며, 특히나 미분가능한 구조를 갖는 리 군이다. 대부분의 리 군은 일반선형군의 부분군이다.

한편 임의의 군 $G$를 $\operatorname{GL}(V)$로 보내는 사상 $\rho : G \to \operatorname{GL}(V)$를 군 $G$의 표현이라 한다.

모든 가역행렬은 행렬지수로 표현할 수 있으므로, $A \in \operatorname{GL}(n, \mathbb{R})$에 대해서 $A = e^X$인 $X \in M_{n \times n}(\mathbb{C})$가 존재한다.

성질

(a) $\operatorname{GL}(n, \mathbb{C})$는 연결이다.

증명

(a)

임의의 $A \in \operatorname{GL}(n, \mathbb{C})$에 대해서, 항등행렬 $I$와 $A$를 잇는 연결 경로가 있음을 보이는 것으로 충분하다. 모든 행렬은 삼각행렬과 닮음이므로, $A \in \operatorname{GL}(n, \mathbb{C})$은 어떤 상삼각행렬 $U$와 가역행렬 $P$에 대해 $A = P^{-1}UP$이다. $A$가 가역이고, 곱이 가역이면 각각도 가역이므로 $U$도 가역이다. 즉 $U$의 모든 대각 성분은 $0$이 아니다.

이제 $U$의 대각성분이 아닌 성분에 $(\frac{1}{2} - t)$를 곱한 것을 $U(t)$라 하자. 그러면 $U(t)$는 여전히 가역이고, $A(t) = P^{-1}U(t)P$는 $G$ 위의 연속인 경로이다. $A(t)$는 $t = 0$에서 $A(0) = A$이다. $D = [U(t)_{ii}]$를 $U$와 같은 대각성분을 갖는 대각행렬이라 하면, $t = \frac{1}{2}$에서 $A(\frac{1}{2}) = P^{-1}DP$이다.

각각의 $u_{i} = U_{ii}$에 대해, $u_{i}(t)$를 $t=\frac{1}{2}$에서 $u_{i}$, $t=1$에서 $1$인 연속 함수라 하자. 그리고 $A(t)$를 다음과 같이 두자.

$$ A(t) = P^{-1} \begin{bmatrix} u_{1}(t) & & 0 \\ & \ddots & \\ 0 & & u_{n}(t) \end{bmatrix} P, \quad \frac{1}{2} \le t \le 1 $$

그러면 $A(t)$ ($0 \le t \le 1$)는 $A$와 $I$를 잇는 $G$ 위의 연속인 경로가 된다.

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$\operatorname{GL}(n, \mathbb{R})$

군:
집합 $G$와 이항연산 $\cdot : G \times G \to G$가 주어졌을 때, 다음이 성립하면 $\braket{G, \cdot}$를 군이라 한다.
결합법칙: $x, y, z \in G$에 대해, $x \cdot (y \cdot z) = (x \cdot y) \cdot z$.
항등원: $e \in G$가 존재하여 $e \cdot x = x \cdot e = x$.
역원: $x \in G$에 대해 $y \in G$가 존재하여 $x \cdot y = y \cdot x = e$.

집합 $\operatorname{GL}(n, \mathbb{R})$와 주어진 연산 행렬 곱셈은 아래의 세가지 조건을 만족하기 때문에 군을 이룬다.

가역행렬의 곱은 가역행렬이므로, 닫혀있다.
행렬 곱셈은 결합법칙을 만족한다.
항등행렬 $I$는 $A \in \operatorname{GL}(n, \mathbb{R})$에 대해 $AI = A = IA$를 만족한다.
정의에 의해 모든 $A \in \operatorname{GL}(n, \mathbb{R})$에 대해 역행렬 $A^{-1}$이 존재한다.

또한 미분가능한 구조를 갖기 때문에 리 군이다.

리 군:
군 $\braket{G, \cdot}$가 다음과 같은 조건을 만족할 때, 이를 리 군이라 한다.
미분가능한 구조를 갖는다.
사상 $(x, y) \mapsto x \cdot y^{-1}$가 미분가능하다.

미분가능한 구조를 갖는다는 것을 보이기 위해서는 $\operatorname{GL}(n, \mathbb{R})$이 유클리드 공간의 열린 부분집합인 것을 보이면 충분하다. 우선 정의에 의해서 다음이 성립한다. $$ \operatorname{GL}(n, \mathbb{R}) = {\det}^{-1}(\mathbb{R} \setminus \{0\}) $$ 여기서 ${\det}^{-1}$는 함수의 원상(프리이미지)이다. $\mathbb{R} \setminus \{0\}$는 전체공간 $\mathbb{R}$에 대해서 열린집합이다. $\det$는 연속함수이고, 연속함수의 열린집합에 대한 원상은 열린집합이므로 $\operatorname{GL}(n, \mathbb{R})$은 유클리드 공간의 열린 부분집합이다. 따라서 미분가능한 구조를 갖는다.
$A, B \in \operatorname{GL}(n, \mathbb{R})$에 대해서, 행렬 $AB^{-1}$의 모든 성분이 $A$와 $B$의 성분만으로 이루어진 유리식이다. 따라서 미분가능하다.

$\operatorname{GL}(V)$

행렬곱은 선형변환의 합성과 대응된다. 집합 $\operatorname{GL}(V)$와 주어진 연산 합성은 아래의 세가지 조건을 만족하기 때문에 군이다.

선형변환의 합성은 결합법칙을 만족한다.
항등함수 $I$는 $\phi \in \operatorname{GL}(V)$에 대해 $\phi \circ I = \phi = I \circ \phi$를 만족한다.
정의에 의해 모든 $\phi \in \operatorname{GL}(V)$에 대해 역함수 $\phi^{-1}$가 존재한다.

한편 $\phi$가 선형사상이라는 것은, 대수의 관점에서 봤을 때 연산이 보존된다는 말이다. 벡터공간 $(V, +, \cdot)$에 대해서,

$$ \phi(v_{1} + v_{2}) = \phi(v_{1}) + \phi(v_{2}) \quad \text{for all } v_{1}, v_{2} \in V $$