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양자 CNOT 게이트

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정의¹

(고전적 $\operatorname{CNOT}$ 게이트 $(a, b) \mapsto (a, a \oplus b)$의 정의로부터) $2$큐비트 $\ket{a, b} = \ket{a} \otimes \ket{b}$에 대해서 양자 $\operatorname{CNOT}$ 게이트를 다음과 같이 정의한다.

$$ \begin{align*} \operatorname{CNOT}_{q} : (\mathbb{C}^{2})^{\otimes 2} &\to (\mathbb{C}^{2})^{\otimes 2} \\ \ket{a, b} &\mapsto \ket{a, a \oplus b},\quad \forall a,b \in \left\{ 0, 1 \right\} \end{align*} $$

$$ \operatorname{CNOT}_{q} (\ket{a} \otimes \ket{b}) = \ket{a} \otimes \ket{a \oplus b} $$

여기서 $(\mathbb{C}^{2})^{\otimes 2}$는 벡터공간의 텐서곱, $\ket{a} \otimes \ket{b}$는 곱벡터, $\oplus$는 배타적 논리합이다.

설명

양자 회로에서 논리 부정은 파울리 $X$ 게이트이기 때문에, Controlled Pauli X gate라고도 한다.

$\operatorname{CNOT}_{q}$의 구체적인 입출력은 다음과 같다.

$$ \operatorname{CNOT}_{q} (\ket{00}) = \ket{0, 0 \oplus 0} = \ket{00} \\[0.5em] \operatorname{CNOT}_{q} (\ket{01}) = \ket{0, 0 \oplus 1} = \ket{01} \\[0.5em] \operatorname{CNOT}_{q} (\ket{10}) = \ket{1, 1 \oplus 0} = \ket{11} \\[0.5em] \operatorname{CNOT}_{q} (\ket{11}) = \ket{1, 1 \oplus 1} = \ket{10} $$

행렬표현은 다음과 같다.

$$ \operatorname{CNOT}_{q} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} $$