정방행렬의 슈어 분해
정의
어떤 유니터리 행렬 $Q$ 와 상삼각행렬 $T$ 에 대해, $A = Q T Q^{\ast}$ 이면 $A$ 는 슈어 분해schur Factorization를 갖는다고 한다.
정리
모든 정방행렬 $A \in \mathbb{C}^{ m \times m}$ 는 슈어 분해를 갖는다.
설명
고유값 대각화의 단점은 $A = S \Lambda S^{-1}$ 로 분해되었을 때 어쨌든 $S^{-1}$ 을 구하는 수고가 필요하다는 것이다. 거듭제곱을 구하는 시간이 획기적으로 줄어드는 것은 사실이지만, 행렬대수의 모든 문제가 역행렬을 구하는 것으로 귀결된다는 점을 생각해보면 거듭제곱이 엄청 많이 필요한 문제 외에는 배보다 배꼽이 더 커질 수 있는 것이다.
반면 슈어 분해는 $T$ 가 상삼각행렬로 주어져서 거듭제곱에는 조금 덜 쓸만할지 모르겠지만 $Q^{\ast}$ 를 구하는 게 아주 쉽기 때문에 $T$ 만 잘 핸들링하면 고유값 대각화에 비해 훨씬 빠르게 문제를 풀어낼 가능성이 있다. 상삼각행렬 자체가 그렇게까지 다루기 힘든 행렬이 아니라는 점을 생각해보면 그 범용성은 상당하다고 할 수 있을 것이다. 그리고 모든 걸 다 떠나서, 일단 슈어 분해는 정방행렬이기만 하면 충분할 정도로 조건이 여유롭다.
증명
유한차원 $m$ 에 대해 수학적 귀납법을 사용해 증명한다. $A_{m}$ 을 어떤 $ m \times m $ 행렬이라고 하자.
$m = 1$ 이면 $A_{1}$ 은 스칼라이므로 자명하다.
$m \ge 2$ 에 대해 $A_{m-1}$ 가 슈어 분해를 갖는다고 가정하자.
$\mathbb{x}$ 를 고유값 $\lambda$ 에 해당하는 단위고유벡터라고 하고 $U := \begin{bmatrix} \mathbb{x} & U_{1} \end{bmatrix}$ 을 유니터리 행렬로 정의하면 $\mathbb{x}^{\ast} A_{m} \mathbb{x} = \lambda$ 이고 $U_{1}^{\ast} \mathbb{x} = 0$
$$ \begin{align*} U^{\ast} A_{m} U =& \begin{bmatrix} \mathbb{x}^{\ast} \\ U_{1}^{\ast} \end{bmatrix} A_{m} \begin{bmatrix} \mathbb{x} & U_{1} \end{bmatrix} \\ =& \begin{bmatrix} \mathbb{x}^{\ast} A_{m} \mathbb{x} & \mathbb{x}^{\ast} A_{m} U_{1} \\ U_{1}^{\ast} A_{m} \mathbb{x} & U_{1}^{\ast} A_{m} U_{1} \end{bmatrix} \\ =& \begin{bmatrix} \lambda & \mathbb{x}^{\ast} A_{m} U_{1} \\ U_{1}^{\ast} \lambda \mathbb{x} & A_{m-1} \end{bmatrix} \\ =& \begin{bmatrix} \lambda & B \\ \mathbb{0} & A_{m-1} \end{bmatrix} \end{align*} $$
$B \in \mathbb{C}^{m-1}$ 는 임의의 벡터고 가정에 따라 $A_{m-1}$ 는 슈어분해를 가진다.
따라서 $A_{m-1}$ 은 어떤 유니터리 행렬 $V$ 와 상삼각행렬 $T$ 에 대해 $A_{m-1} = V T V^{\ast}$ 으로 나타난다.
그러면 유니터리 행렬 $Q := \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & V \end{bmatrix}$와 상삼각행렬 $\begin{bmatrix} \lambda & B V \\ 0 & T \end{bmatrix}$ 에 대해
$$ \begin{align*} Q \begin{bmatrix} \lambda & B V \\ 0 & T \end{bmatrix} Q^{\ast} &= \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & V \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \lambda & B V \\ 0 & T \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & V^{\ast} \end{bmatrix} \\ =& \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & V \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \lambda & B \\ 0 & T V^{\ast} \end{bmatrix} \\ =& \begin{bmatrix} \lambda & B \\ 0 & V T V^{\ast} \end{bmatrix} \\ =& \begin{bmatrix} \lambda & B \\ 0 & A_{m-1} \end{bmatrix} \end{align*} $$
즉
$$ \begin{align*} A_{m} =& U Q \begin{bmatrix} \lambda & B V \\ 0 & T \end{bmatrix} Q^{\ast} U^{\ast} \\ =& ( U Q ) \begin{bmatrix} \lambda & B V \\ 0 & T \end{bmatrix} ( U Q )^{\ast} \end{align*} $$
$A_{m-1}$ 이 슈어 분해를 가지면 $A_{m}$ 역시 슈어분해를 가지므로, 수학적 귀납법에 의해서 모든 정방행렬은 슈어 분해를 가진다.
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