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정방행렬의 슈어 분해 📂행렬대수

정방행렬의 슈어 분해

정의

어떤 유니터리 행렬 QQ 와 상삼각행렬 TT 에 대해, A=QTQ∗A = Q T Q^{\ast} 이면 AA 는 슈어 분해schur Factorization를 갖는다고 한다.

정리

모든 정방행렬 A∈Cm×mA \in \mathbb{C}^{ m \times m} 는 슈어 분해를 갖는다.

설명

고유값 대각화의 단점은 A=SΛS−1A = S \Lambda S^{-1} 로 분해되었을 때 어쨌든 S−1S^{-1} 을 구하는 수고가 필요하다는 것이다. 거듭제곱을 구하는 시간이 획기적으로 줄어드는 것은 사실이지만, 행렬대수의 모든 문제가 역행렬을 구하는 것으로 귀결된다는 점을 생각해보면 거듭제곱이 엄청 많이 필요한 문제 외에는 배보다 배꼽이 더 커질 수 있는 것이다.

반면 슈어 분해는 TT 가 상삼각행렬로 주어져서 거듭제곱에는 조금 덜 쓸만할지 모르겠지만 Q∗Q^{\ast} 를 구하는 게 아주 쉽기 때문에 TT 만 잘 핸들링하면 고유값 대각화에 비해 훨씬 빠르게 문제를 풀어낼 가능성이 있다. 상삼각행렬 자체가 그렇게까지 다루기 힘든 행렬이 아니라는 점을 생각해보면 그 범용성은 상당하다고 할 수 있을 것이다. 그리고 모든 걸 다 떠나서, 일단 슈어 분해는 정방행렬이기만 하면 충분할 정도로 조건이 여유롭다.

증명

유한차원 mm 에 대해 수학적 귀납법을 사용해 증명한다. AmA_{m} 을 어떤 m×m m \times m 행렬이라고 하자.

m=1m = 1 이면 A1A_{1} 은 스칼라이므로 자명하다.

m≥2m \ge 2 에 대해 Am−1A_{m-1} 가 슈어 분해를 갖는다고 가정하자.

x\mathbf{x} 를 고유값 λ\lambda 에 해당하는 단위고유벡터라고 하고 U:=[xU1]U := \begin{bmatrix} \mathbf{x} & U_{1} \end{bmatrix} 을 유니터리 행렬로 정의하면 x∗Amx=λ\mathbf{x}^{\ast} A_{m} \mathbf{x} = \lambda 이고 U1∗x=0U_{1}^{\ast} \mathbf{x} = 0

U∗AmU=[x∗U1∗]Am[xU1]=[x∗Amxx∗AmU1U1∗AmxU1∗AmU1]=[λx∗AmU1U1∗λxAm−1]=[λB0Am−1] \begin{align*} U^{\ast} A_{m} U =& \begin{bmatrix} \mathbf{x}^{\ast} \\ U_{1}^{\ast} \end{bmatrix} A_{m} \begin{bmatrix} \mathbf{x} & U_{1} \end{bmatrix} \\ =& \begin{bmatrix} \mathbf{x}^{\ast} A_{m} \mathbf{x} & \mathbf{x}^{\ast} A_{m} U_{1} \\ U_{1}^{\ast} A_{m} \mathbf{x} & U_{1}^{\ast} A_{m} U_{1} \end{bmatrix} \\ =& \begin{bmatrix} \lambda & \mathbf{x}^{\ast} A_{m} U_{1} \\ U_{1}^{\ast} \lambda \mathbf{x} & A_{m-1} \end{bmatrix} \\ =& \begin{bmatrix} \lambda & B \\ \mathbb{0} & A_{m-1} \end{bmatrix} \end{align*}

B∈Cm−1B \in \mathbb{C}^{m-1} 는 임의의 벡터고 가정에 따라 Am−1A_{m-1} 는 슈어분해를 가진다.

따라서 Am−1A_{m-1} 은 어떤 유니터리 행렬 VV 와 상삼각행렬 TT 에 대해 Am−1=VTV∗A_{m-1} = V T V^{\ast} 으로 나타난다.

그러면 유니터리 행렬 Q:=[100V]Q := \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & V \end{bmatrix}와 상삼각행렬 [λBV0T]\begin{bmatrix} \lambda & B V \\ 0 & T \end{bmatrix} 에 대해

Q[λBV0T]Q∗=[100V][λBV0T][100V∗]=[100V][λB0TV∗]=[λB0VTV∗]=[λB0Am−1] \begin{align*} Q \begin{bmatrix} \lambda & B V \\ 0 & T \end{bmatrix} Q^{\ast} &= \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & V \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \lambda & B V \\ 0 & T \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & V^{\ast} \end{bmatrix} \\ =& \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & V \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \lambda & B \\ 0 & T V^{\ast} \end{bmatrix} \\ =& \begin{bmatrix} \lambda & B \\ 0 & V T V^{\ast} \end{bmatrix} \\ =& \begin{bmatrix} \lambda & B \\ 0 & A_{m-1} \end{bmatrix} \end{align*}

즉

Am=UQ[λBV0T]Q∗U∗=(UQ)[λBV0T](UQ)∗ \begin{align*} A_{m} =& U Q \begin{bmatrix} \lambda & B V \\ 0 & T \end{bmatrix} Q^{\ast} U^{\ast} \\ =& ( U Q ) \begin{bmatrix} \lambda & B V \\ 0 & T \end{bmatrix} ( U Q )^{\ast} \end{align*}

Am−1A_{m-1} 이 슈어 분해를 가지면 AmA_{m} 역시 슈어분해를 가지므로, 수학적 귀납법에 의해서 모든 정방행렬은 슈어 분해를 가진다.

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