📂선형대수

선형변환의 대각화가능성과 고유값의 중복도, 고유공간의 관계

정리¹

$T : V \to V$를 유한차원 벡터공간 $V$ 위의 선형변환이라고 하자. $T$의 특성다항식이 분해되고, $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \dots, \lambda_{k}$가 $T$의 서로 다른 고유값이라고 하자. 그러면,

1. $T$가 대각화가능한 것은, 모든 $i$에 대해서 $\lambda_{i}$의 중복도와 고유공간의 차원 $\dim(E_{\lambda_{i}})$가 같은 것과 동치이다.
   $$T \text{ is diagobalizable. } \iff \text{multiplicity of } \lambda_{i} = \dim(E_{\lambda_{i}}),\quad \forall i$$

2. 만약 $T$가 대각화가능하고, $\beta_{i}$가 $E_{\lambda_{i}}$의 순서기저이면, $\beta = \beta_{1} \cup \cdots \cup \beta_{k}$는 $T$의 고유벡터를 포함하는 $V$의 순서기저이다.

3. $T$가 대각화가능한 것은, $V$가 $T$의 고유공간들의 직합인 것과 동치이다. $$T \text{ is diagobalizable. } \iff V = E_{\lambda_{1}} \oplus \cdots \oplus E_{\lambda_{k}}$$

증명

1.

$m_{i}$를 $\lambda_{i}$의 중복도라고 하자. $d_{i} = \dim(E_{\lambda_{i}})$, $n = \dim(V)$라고 하자.

• $(\Longrightarrow)$

  $T$가 대각화가능하다고 가정하자. 이는 $T$의 고유벡터들로 이루어진 $V$의 기저가 존재한다는 것과 같다. 따라서 $\beta$를 $T$의 고유벡터로 이루어진 $V$의 기저라고 하자. 각각의 $i$에 대해서, $\beta_{i} = \beta \cap E_{\lambda_{i}}$라고 하자. 다시말해 $\beta_{i}$는 $\beta$에 속해 있는 고유값 $\lambda_{i}$에 대응되는 고유벡터들의 집합이다. 또한 $n_{i} = \left| \beta_{i} \right|$라고 하자. 그러면 $\beta_{i}$가 $E_{\lambda_{i}}$의 선형독립인 부분집합이므로, $n_{i} \le d_{i}$이다. 또한 고유값의 대수적 중복도는 기하적 중복도보다 크거나 같으므로, $d_{i} \le m_{i}$이다. $n = \left| \beta \right|$이므로, 모든 $i$에 대해서 $n_{i}$를 더하면 $n$이고, 중복도의 정의에 의해 모든 $i$에 대해서 $m_{i}$를 더하면 $n$이다. 따라서, $$n = \sum\limits_{i=1}^{k}n_{i} \le \sum\limits_{i=1}^{k}d_{i} \le \sum\limits_{i=1}^{k}m_{i} = n$$ $$\implies \sum\limits_{i=1}^{k}(m_{i} - d_{i}) = 0$$ 그런데 $m_{i} - d_{i} \ge 0$이므로, 모든 $i$에 대해서 $m_{i} = d_{i}$이다.

• $(\Longleftarrow)$

  모든 $i$에 대해서 $m_{i} = d_{i}$라고 가정하자. $\beta_{i}$를 $E_{\lambda_{i}}$의 순서기저라고 하자. 그리고 $\beta = \beta_{1} \cup \cdots \cup \beta_{k}$라고 하자. 그러면 서로 다른 고유공간의 선형독립인 집합의 합집합도 선형독립이므로, $\beta$도 선형독립이다. 또한 가정에 의해 $\sum\limits_{i=1}^{k} d_{i} = \sum\limits_{i=1}^{k} m_{i} = n$이므로, $\beta$는 $n$개의 선형독립인 고유벡터들을 포함한다. 따라서 $\beta$는 $V$의 순서기저이며, $T$는 대각화가능하다.

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2.

1.의 $(\Longleftarrow)$를 증명하는 과정에서 같이 증명되었다.

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3.

$\lambda_{1}, \dots, \lambda_{k}$를 $T$의 서로 다른 고유값이라 하자.

• $(\Longrightarrow)$

  $T$가 대각화가능하다고 가정하자. $\gamma_{i}$를 고유공간 $E_{\lambda_{i}}$의 순서기저라고 하자. 그러면 2.에 의해서 $\gamma_{1} \cup \cdots \cup \gamma_{k}$는 $V$의 순서기저이다.

  직합의 성질

  $W_{1}, W_{2}, \dots, W_{k}$를 유한차원 벡터공간 $V$의 부분공간들이라 하자. 다음의 명제들은 모두 동치이다.

  1. $V = W_{1} \oplus W_{2} \oplus \cdots \oplus W_{k}$
  2. $\gamma_{i}$가 $W_{i}$의 순서기저이면, $\gamma_{1} \cup \cdots \cup \gamma_{k}$가 $V$의 순서기저이다.
  3. $\gamma_{1} \cup \cdots \cup \gamma_{k}$가 $V$의 순서기저가 되도록 하는 $W_{i}$들의 순서기저 $\gamma_{i}$가 존재한다. 그러면 위의 정리에 의해 $V = E_{\lambda_{1}} \oplus \cdots \oplus E_{\lambda_{k}}$이다.

• $(\Longleftarrow)$

  $V = E_{\lambda_{1}} \oplus \cdots \oplus E_{\lambda_{k}}$라고 가정하자. $\gamma_{i}$를 $E_{\lambda_{i}}$의 순서기저라고 하자. 그러면 직합의 성질에 의해 $\gamma_{1} \cup \cdots \cup \gamma_{k}$는 $V$의 순서기저이다. 이는 고유벡터로 구성된 기저이므로, $T$는 대각화가능하다.

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