📂선형대수

합집합의 생성은 생성의 합과 같다

정리¹

$S_{1}, S_{2}$를 벡터공간 $V$의 부분집합이라고 하자. 그러면 다음이 성립한다.

$$\span(S_{1} \cup S_{2}) = \span(S_{1}) + \span(S_{2})$$

이때 $\span$은 생성, $+$는 집합의 합을 의미한다.

증명

• $\span(S_{1} \cup S_{2}) \subset \span(S_{1}) + \span(S_{2})$

  $v \in \span(S_{1} \cup S_{2})$라고 하자. 그러면 $v$를 다음과 같이 표현할 수 있다. $$v = \sum\limits_{i=1}^{n}a_{i}x_{i} + \sum\limits_{j=1}^{m}b_{j}y_{j},\quad x_{i}\in S_{1},\ y_{j} \in S_{2}$$ 첫번째 합은 $\span(S_{1})$에 속하고, 두번째 합은 $\span(S_{2})$에 속한다. 따라서 $v \in \span(S_{1}) + \span(S_{2})$이다.

• $\span(S_{1} \cup S_{2}) \supset \span(S_{1}) + \span(S_{2})$

  $$u = \sum\limits_{i=1}^{n}a_{i}x_{i} \quad \text{and} \quad v = \sum\limits_{j=1}^{m}b_{j}y_{j},\quad x_{i} \in S_{1},\ y_{j} \in S_{2}$$ 위와 같은 $u \in \span(S_{1}), v \in \span(S_{2})$에 대해서, $u + v \in \span(S_{1}) + \span(S_{2})$라고 하자. 그러면 $u + v = \sum\limits_{i=1}^{n}a_{i}x_{i} + \sum\limits_{j=1}^{m}b_{j}y_{j}$가 성립하므로, $u + v \in \span(S_{1} \cup S_{2})$이다.

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