📂함수

볼록함수의 여러가지 성질

정리¹

1. 모든 볼록함수는 연속이다.

2. $f$가 증가 볼록함수, $g$가 볼록함수이면, $f \circ g$도 볼록함수이다.

3. $f$가 $(a, b)$에서 볼록이고, $a \lt s \lt t \lt u \lt b$이면, $$ \dfrac{f(t) - f(s)}{t-s} \le \dfrac{ f(u) - f(s) }{ u - s } \le \dfrac{ f(u) - f(t) }{ u - t } $$

4. $f$가 다음을 만족하는 $(a, b)$에서 정의된 연속함수이면, 볼록함수이다. $$ f \left( \dfrac{ x + y }{ 2 } \right) \le \dfrac{ f(x) + f(y) }{ 2 },\quad x,y \in (a,b) $$

5. $f=F^{\prime}$가 증가함수라고 하자. 그러면 $F$는 볼록이다.

증명

5.²

$a\le x \le y \le b$라고 하자.

$$ \begin{align*} F(y) - F(\frac{ x + y }{ 2 }) &= \int_{\frac{ x + y }{ 2 }}^{y} f(t) dt \\ F(\frac{ x + y }{ 2 }) - F(x) &= \int_{x}^{\frac{ x + y }{ 2 }} f(t) dt \end{align*} $$

$f$가 증가함수이므로,

$$ \int_{x}^{\frac{ x + y }{ 2 }} f(t) dt \le \int_{\frac{ x + y }{ 2 }}^{y} f(t) dt \ge $$

$$ \implies F(\frac{ x + y }{ 2 }) - F(x) \le F(y) - F(\frac{ x + y }{ 2 }) $$

$$ 2 \implies F(\frac{ x + y }{ 2 }) \le F(y) + F(x) $$

$$ \implies F(\frac{ x + y }{ 2 }) \le \dfrac{ F(y) + F(x) }{ 2 } $$

4.에 의해서 $F$는 볼록이다.

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