📂선형대수

몫공간의 기저와 차원

정리¹

$V$를 $n$차원 벡터공간, $W \le V$를 $k (\lt n)$차원 부분공간이라고 하자. $W$의 기저를 $\left\{ u_{1}, \dots, u_{k} \right\}$라고 하자. 그리고 이 기저를 확장시킨 $V$의 기저를 $\left\{ u_{1}, \dots, u_{k}, u_{k+1}, \dots, u_{n} \right\}$이라고 하자. 그러면

• $\left\{ u_{k+1} + W, \dots, u_{n} + W \right\}$는 몫 공간 $V/W$의 기저이다.

• $\dim(V) = \dim(V/W) + \dim(W)$

설명

차원에 관한 결과는 다른 증명으로도 얻을 수 있다.

증명

$\beta = \left\{ u_{k+1} + W, \dots, u_{n} + W \right\}$라고 하자.

• $\beta$는 선형독립이다.

  $V/W$의 영벡터는 $W$이므로 다음의 식이 성립하도록 하는 해는 $a_{k+1} = \cdots = a_{n} = 0$뿐이어야 함을 보여야한다.

  $$a_{k+1}(u_{k+1} + W) + \cdots + a_{n}(u_{n} + W) = W$$

  $V/W$에서 정의된 덧셈에 따라,

  $$\begin{align*} a_{k+1}(u_{k+1} + W) + \cdots + a_{n}(u_{n} + W) &= (a_{k+1}u_{k+1} + \cdots + a_{n}u_{n}) + W \\ &= W \end{align*}$$

  보조정리

  (b) $v_{1}, v_{2} \in V$에 대해서, $v_{1} + W = v_{2} + W$인 것은 $v_{1} - v_{2} \in W$인 것과 동치이다.

  (c) $V/W$는 벡터공간이고, 영벡터는 $0_{V} + W = W$이다. ($0_{V}$는 $V$의 영벡터이다.)

  그러면 위의 보조정리에 의해 다음을 얻는다.

  $$(a_{k+1}u_{k+1} + \cdots + a_{n}u_{n}) + W = 0_{V} + W$$ $$\implies a_{k+1}u_{k+1} + \cdots + a_{n}u_{n} - 0_{V} = a_{k+1}u_{k+1} + \cdots + a_{n}u_{n} \in W \tag{1}$$

  $u_{k+1}, \dots, u_{n}$은 정의에 의해서 명백하게 $W$의 원소가 아니다.

  $$u_{k+1}, \dots, u_{n} \notin W \tag{2}$$

  그런데 $u_{k+1}, \dots, u_{n}$는 선형독립이므로, $(1)$과 $(2)$를 동시에 만족하려면 $a_{k+1}u_{k+1} + \cdots + a_{n}u_{n} = 0_{V} = 0_{W}$이어야 한다. 따라서 다음을 얻는다.

  $$a_{k+1} = \cdots = a_{n} = 0$$

• $\span \beta = V/W$

  $w \in W$에 대해서 $w + W = W$이므로, 임의의 $v \in V$에 대해서,

  $$\begin{align*} v + W &= (a_{1}u_{1} + \cdots + a_{k}u_{k} + a_{k+1}u_{k+1} + \cdots + a_{n}u_{n}) + W \\ &= (a_{k+1}u_{k+1} + \cdots + a_{n}u_{n}) + W \\ &= (a_{k+1}u_{k+1} + W) + \cdots + (a_{n}u_{n} + W) \\ \end{align*}$$

그러므로 $\beta$는 $V/W$의 기저이다. 따라서

$$\begin{align*} \dim(V) &= \dim(V/W) + \dim(W) \\ n &= (n-k) + k \end{align*}$$

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