선형대수학에서 잉여류와 몫공간
📂선형대수선형대수학에서 잉여류와 몫공간
정의
V를 F-벡터공간, W≤V를 부분공간이라고 하자. v∈V에 대하여, 아래의 집합
{v}+W:={v+w:w∈W}
를 v를 포함하는 W의 잉여류coset of W containing v라고 한다. +는 집합의 합이다.
설명
흔히 {v}+W 대신 v+W로 간단히 표기한다.
W의 모든 잉여류의 집합을 {v+W:v∈V}을 생각하자. 덧셈과 (F에 의한)상수곱셈을 다음과 같이 정의한다.
(v1+W)+(v2+W)=(v1+v2)+W,∀v1,v2∈V
a(v+W)=av+W∀v∈V and a∈F
그러면 이 집합은 다시 F-벡터공간이 된다. 이 벡터공간을 V/W로 표기하고, W로 나눈 V의 몫 공간quotient space of V modulo W이라 한다.
정리
(a) v+W가 V의 부분공간인 것은 v∈W인 것과 동치이다. (대수에서의 증명)
(b) v1,v2∈V에 대해서, v1+W=v2+W인 것은 v1−v2∈W인 것과 동치이다. (대수에서의 증명)
(c) V/W는 벡터공간이고, 영벡터는 0V+W=W이다. (0V는 V의 영벡터이다.)
증명
(a)
(⟹)
v+W가 V의 부분공간이라고 가정하자. 그러면, 0V를 V의 영벡터라고 할 때, 0V∈v+W이다. 따라서 어떤 w∈W에 대해서 0V=v+w이고, w=−v∈W이다. W는 V의 부분공간이므로 상수곱셈에 대해서 닫혀있어 v=−(−v)∈W이다.
(⟸)
v∈W라고 가정하자. v+W가 V의 부분공간인 것을 보이려면 덧셈과 상수곱셈에 대해서 닫혀있음을 보이면 된다. v+w1,v+w2∈v+W라고 하자. 이 둘을 더하면 다음과 같다.
(v+w1)+(v1+w2)=v+(v+w1+w2)
W는 부분공간이므로 덧셈에 대해 닫혀있고, 가정에 의해 v는 W의 원소이므로 어떤 w3∈W에 대해서 다음이 성립한다.
v+(v+w1+w2)=v+w3∈W
이제 a∈F라고 하자. 그러면 마찬가지로 가정에 의해, 어떤 w4∈W에 대해서 다음이 성립한다.
a(v+w)=v+((a−1)v+aw)=v+w4∈W
■
(b)
(⟹)
v1+W=v2+W라고 가정하자. 그러면 V의 영벡터 0V와 어떤 w∈W에 대해서 다음이 성립한다.
v1+0V=v2+w⟹v1−v2=w∈W
(⟸)
v1−v2∈W라고 가정하자. 그러면
v2+W={v2+w:w∈W}={v2+((v1−v2)+w):w∈W}={v1+w:w∈W}=v1+W
■
같이보기
