📂선형대수

대각화가능한 선형변환의 불변부분공간으로의 축소사상도 대각화가능하다

정리¹

$V$를 벡터공간, $T : V \to V$를 대각화가능 한 선형변환이라고 하자. $\left\{ \mathbf{0} \right\} \ne W \le V$인 $W$를 자명하지 않은 $T$-불변 부분공간이라고 하자. 그러면 축소사상 $T|_{W}$도 대각화가능하다.

자명한 $T$-불변 부분공간이란 영벡터 집합 $\left\{ \mathbf{0} \right\}$, 전체 집합 $V$, 치역 $R(T)$, 영공간 $N(T)$, 고유공간 $E_{\lambda}$를 말한다.

증명

대각화가능한 선형변환의 특성다항식은 분해되므로, $n = \dim(V)$개의 고유값 $\lambda$가 존재한다. $E_{\lambda}$를 $\lambda$에 대한 고유공간이라고 하자.

$$E_{\lambda} = \left\{ v \in V : Tv = \lambda v \right\}$$

$W_{\lambda} = E_{\lambda} \cap W$라 두면, $W$가 $T$-불변이므로, $\lambda$에 대응되는 $T|_{W}$의 고유공간이 된다.

$$W_{\lambda} = \left\{ v \in W : T|_{W}v = \lambda v \right\}$$

$\beta_{\lambda}$를 $W_{\lambda}$의 기저라고 두자. 우리는 $\beta = \bigcup\limits_{\lambda} \beta_{\lambda}$가 $W$의 기저가 됨을 보일 것이다. 그러면 $\beta$가 고유벡터들의 집합이므로, $T|_{W}$가 대각화가능하다는 것을 보이는 것과 같다.

• $\beta$는 선형독립이다.

  서로 다른 고유공간의 선형독립인 집합들의 합집합은 선형독립이므로 $\beta$는 $W$ 위에서 선형독립이다.

• $\beta$는 $W$를 생성한다.

  $T$가 대각화가능하므로, $V$의 모든 벡터는 $T$의 (선형독립인)고유벡터들의 선형결합으로 나타낼 수 있다. $W$는 $V$의 부분공간이므로 $W$의 모든 벡터들도 역시 그러하다.

  보조정리

  $V$를 $n$차원 벡터공간, $T : V \to V$를 선형변환, $W$를 $T$-불변 이라고 하자. $v_{1}, \dots, v_{k}$를 서로 다른 고유값에 대응되는 $T$의 고유벡터라고 하자. 만약 $v_{1} + \cdots + v_{k} \in W$이면, 모든 $i$에 대해서 $v_{i} \in W$이다.

  그러면 보조정리와 $\beta$의 정의에 의해, $W$의 모든 원소는 $\beta$의 선형결합으로 표현됨을 알 수 있다.

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같이보기

• 다른 증명