📂선형대수

서로 다른 고유공간의 선형독립인 집합의 합집합은 선형독립이다

정리¹

$V$를 벡터공간, $T : V \to V$를 선형변환이라고 하자. 그리고 $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \dots, \lambda_{k}$를 $T$의 서로 다른 고유값이라고 하자. 각 $i = 1, \dots, k$에 대해서, $S_{i}$를 고유공간 $E_{\lambda_{i}}$의 선형독립인 부분집합이라고 하자. 그러면

$$ S = S_{1} \cup \cdots \cup S_{k} $$

는 $V$의 선형독립인 부분집합이다.

증명

보조정리

정리의 표기법을 그대로 따르자. $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \dots, \lambda_{k}$가 $T$의 서로 다른 고유값이라고하자. $v_{i} \in E_{\lambda_{i}}$라고 하자. 만약 $v_{1} + \cdots + v_{k} = 0$이면, 모든 $i$에 대해서 $v_{i} = 0$이다.

증명

결론이 틀렸다고 가정하자. 다시말해 $v_{i} \ne 0$이 있다고 가정하자. 일반성을 잃지않고 $1 \le i \le m$에 대해 $v_{i} \ne 0$이고, $m \lt i$에 대해서 $v_{i} = 0$이라 하자. 그러면 $i \le m$에 대해서 다음을 얻는다.

$$ v_{1} + \cdots + v_{m} = 0 $$

그런데 서로 다른 고유값에 대응되는 고유벡터들은 선형독립이므로 위 식은 모순이다. 따라서 모든 $i$에 대해서 $v_{i} = 0$이다.

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우선 다음과 같이 표기하자.

$$ S_{i} = \left\{ v_{i1}, v_{i2}, \dots, v_{in_{i}} \right\} $$

그러면 $S = \left\{ v_{ij} : 1 \le j \le n_{i},\ 1 \le i \le k \right\}$이다. 이제 다음을 만족하는 상수 $\left\{ a_{ij} \right\}$를 생각하자.

$$ \sum_{i=1}^{k} \sum_{j=1}^{n_{i}} a_{ij}v_{ij} = 0 $$

그리고 각 $i$에 대해서 다음과 같이 두자.

$$ w_{i} = \sum_{j=1}^{n_{i}} a_{ij}v_{ij} $$

그러면 $w_{i} \in E_{\lambda_{i}}$이고, $w_{1} + w_{2} + \cdots + w_{k} = 0$이다. 이때 보조정리에 의해서 모든 $i$에 대해 $w_{i} = 0$이다. 그런데 각각의 $S_{i}$를 선형독립이라고 가정했으므로, 모든 $j$에 대해서 $a_{ij} = 0$이다. 따라서 $S$는 선형독립이다.

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