📂선형대수

다항식 벡터공간

정의¹

다항식

체 $F$로부터 계수를 갖는 다항식^polynomial이란, 음이 아닌 정수 $n$에 대해서 다음의 꼴을 의미한다.

$$\begin{equation} f(x) = a_{n}x^{n} + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_{1}x + a_{0} \end{equation}$$

여기서 각각의 $a_{k} \in F$를 $x^{k}$의 계수^coefficient라고 한다. 만약 $a_{n}=a_{n-1}=\cdots=a_{0}=0$이면, $f(x)$를 영 다항식^{zero polynomial}이라 한다.

다항식의 차수^degree란, $(1)$의 꼴에서 계수가 $0$이 아닌 $x$의 가장 큰 거듭제곱수를 의미한다. $0$이 아닌 상수 $c$에 대해서 $f(x) = c$의 차수는 $0$이고, 편의를 위해 영 다항식의 차수를 $-1$로 정의한다.

다항식 벡터공간

$f, g$를 $F$로부터 계수를 갖는 다항식이라 하자.

$$f(x) = a_{n}x^{n} + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_{1}x + a_{0}$$

$$g(x) = b_{m}x^{m} + b_{m-1}x^{m-1} + \cdots + b_{1}x + b_{0}$$

일반성을 잃지않고 $m \le n$이라고 가정하고, $b_{m+1}=b_{m+2}=\cdots=b_{n}=0$으로 정의하자. 그러면 $g(x)$를 다음과 같이 쓸 수 있다.

$$g(x) = b_{n}x^{n} + b_{n-1}x^{n-1} + \cdots + b_{1}x + b_{0}$$

이제 두 다항식 $f(x)$와 $g(x)$의 합을 다음과 같이 정의하자.

$$f(x) + g(x) = (a_{n} + b_{n})x^{n} + (a_{n-1} + b_{n-1})x^{n-1} + \cdots (a_{1} + b_{1})x + (a_{0} + b_{0})$$

$c \in F$에 대해서 상수곱셈을 다음과 같이 정의하자.

$$cf(x) = ca_{n}x^{n} + ca_{n-1}x^{n-1} + \cdots + ca_{1}x + ca_{0}$$

그러면 이 덧셈과 상수곱셈에 대해서, $F$로부터 계수를 갖는 모든 다항식의 집합은 $F$-벡터공간이 되며, 이를 $P(F)$로 표기한다.

설명

차수가 $n$이하인 모든 다항식들의 집합을 $P_{n}(F)$라 표기한다. $P(F)$는 임의의 차수에 대한 모든 다항식을 포함하고, $P_{n}(F)$는 $n$이하의 모든 다항식을 포함한다. 둘 다 무한집합이고, 둘 다 다항식들의 집합(무한 급수의 집합이 아니다)이라는 것에 유의하자.

$$P(F) = \left\{ a_{n}x^{n} + \cdots + a_{1}x + a_{0} : n \in \mathbb{N}, a_{i} \in F \right\}$$

$$P_{n}(F) = \left\{ a_{k}x^{k} + \cdots + a_{1}x + a_{0} : 1 \le k \le n, a_{i} \in F \right\}$$

또한 $P(F)$의 경우 모든 $n$에 대한 다항식을 포함하므로 무한차원이지만, $P_{n}(F)$는 $n$차원이다.