📂선형대수

유한차원 선형변환의 고유값과 고유벡터

정의¹

$V$를 유한차원 $F$-벡터공간이라고 하자. $T : V \to V$를 선형변환이라 하자. $\lambda \in F$에 대해서, $$ Tx = \lambda x $$ 를 만족하는 영벡터가 아닌 $x \in V$를 $T$의 고유벡터^eigenvector라고 한다.

이때 스칼라 $\lambda \in F$를 고유벡터 $x$에 대응되는 고유값^eigenvalue이라 한다.

설명

예전에는 eigenvector대신 characteristic vector나 proper vector, 그리고 eigenvalue 대신 characteristic value나 proper value도 사용되었지만 요즘은 쓰지 않는 말들이다.

고유값과 고유벡터는 선형변환의 대각화와 관련이 있다.

정리

$n$차원 벡터공간 $V$ 위로의 선형변환 $T : V \to V$가 대각화가능한 것은 $T$의 고유벡터들로 이루어진 $V$의 순서기저 $\beta$가 존재하는 것과 동치이다. 다시말해 $T$가 대각화가능한 것은 $n$개의 선형독립인 $T$의 고유벡터가 존재하는 것과 같다.

더욱이 $T$가 대각화가능하고, $\beta = \left\{ v_{1}, \dots, v_{n} \right\}$이 $T$의 고유벡터들의 순서기저이고, $D = \begin{bmatrix} T \end{bmatrix}_{\beta}$라고하면, $D$는 대각행렬이고 $D_{jj}$는 $v_{j}$에 대응되는 고유값이다.

같이보기

• 행렬의 고유값, 고유벡터