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벡터의 좌표 변환 📂선형대수

벡터의 좌표 변환

개요1 2

VV를 nn차원 벡터공간, v∈V\mathbf{v} \in V라고 하자. β\beta를 VV의 어떤 순서기저라고하자. 그러면 v\mathbf{v}는 좌표벡터 [v]β[\mathbf{v}]_{\beta}로 표현된다. 이때 다른 순서기저 β′\beta ^{\prime}가 주어지면, v\mathbf{v}는 이에 대한 좌표벡터 [v]β′[\mathbf{v}]_{\beta^{\prime}}으로도 표현될 수 있다. 벡터의 좌표변환이란, 이 두 좌표벡터 사의의 관계식을 말한다.

빌드업

편의를 위해 VV의 차원을 n=2n = 2라고 하자. β={u1,u2}\beta = \left\{ \mathbf{u}_{1}, \mathbf{u}_{2} \right\}를 VV의 순서기저라고 하자. 그리고 또다른 순서기저 β′={u1′,u2′}\beta^{\prime} = \left\{ \mathbf{u}_{1}^{\prime}, \mathbf{u}_{2}^{\prime} \right\}를 생각하자. β′\beta ^{\prime}의 벡터들의 β\beta에 대한 좌표벡터가 다음과 같이 주어졌다고 하자.

[u1′]β=[ab]and[u2′]β=[cd] [\mathbf{u}_{1}^{\prime}]_{\beta} = \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} \quad \text{and} \quad [\mathbf{u}_{2}^{\prime}]_{\beta} = \begin{bmatrix} c \\ d \end{bmatrix}

다시말해 다음의 식이 성립한다.

u1′=au1+bu2u2′=cu1+du2 \begin{equation} \begin{aligned} \mathbf{u}_{1}^{\prime} &= a\mathbf{u}_{1} + b\mathbf{u}_{2} \\ \mathbf{u}_{2}^{\prime} &= c\mathbf{u}_{1} + d\mathbf{u}_{2} \end{aligned} \end{equation}

이제 어떤 벡터 v∈V\mathbf{v} \in V를 선택하고, β′\beta^{\prime}에 대한 좌표벡터를 다음과 같다고 하자.

[v]β′=[k1k2] \begin{equation} [\mathbf{v}]_{\beta^{\prime}} = \begin{bmatrix} k_{1} \\ k_{2} \end{bmatrix} \end{equation}

v=k1u1′+k2u2′ \mathbf{v} = k_{1}\mathbf{u}_{1}^{\prime} + k_{2}\mathbf{u}_{2}^{\prime}

이제 위 식에 (1)(1)을 대입하면,

v=k1(au1+bu2)+k2(cu1+du2)=(k1a+k2c)u1+(k1b+k2d)u2 \begin{align*} \mathbf{v} &= k_{1}(a\mathbf{u}_{1} + b\mathbf{u}_{2}) + k_{2}(c\mathbf{u}_{1} + d\mathbf{u}_{2}) \\ &= (k_{1}a + k_{2}c)\mathbf{u}_{1} + (k_{1}b + k_{2}d)\mathbf{u}_{2} \end{align*}

[v]β=[(k1a+k2c)(k1b+k2d)] [\mathbf{v}]_{\beta} = \begin{bmatrix} (k_{1}a + k_{2}c) \\ (k_{1}b + k_{2}d) \end{bmatrix}

이때 (2)(2)를 이용하여 위 식을 정리하면

[v]β=[(k1a+k2c)(k1b+k2d)]=[acbd][k1k2]=[acbd][v]β′ \begin{align*} [\mathbf{v}]_{\beta} &= \begin{bmatrix} (k_{1}a + k_{2}c) \\ (k_{1}b + k_{2}d) \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} a & c \\ b & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} k_{1} \\ k_{2} \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} a & c \\ b & d \end{bmatrix} [\mathbf{v}]_{\beta^{\prime}} \\ \end{align*}

여기서 Q=[acbd]Q = \begin{bmatrix} a & c \\ b & d \end{bmatrix}라고 하면 β\beta에 대한 좌표벡터는 β′\beta^{\prime}에 대한 좌표벡터에 행렬 QQ를 곱하여 얻어짐을 알 수 있다. 또한 QQ의 각 열은 β′\beta^{\prime}의 β\beta에 대한 좌표벡터로 이루어져있다.

[v]β=Q[v]β′=[[u1′]β[u2′]β][v]β′∀v∈V [\mathbf{v}]_{\beta} = Q[\mathbf{v}]_{\beta^{\prime}} = \begin{bmatrix} [\mathbf{u}_{1}^{\prime}]_{\beta} & [\mathbf{u}_{2}^{\prime}]_{\beta} \end{bmatrix} [\mathbf{v}]_{\beta^{\prime}} \quad \forall \mathbf{v} \in V

따라서 Q=[I]β′βQ = \begin{bmatrix} I \end{bmatrix}_{\beta^{\prime}}^{\beta}임을 알 수 있다. II는 항등변환이다.

정의

β,β′\beta, \beta^{\prime}를 nn차원 벡터공간 VV의 두 순서기저라고 하자. Q=[I]β′βQ = \begin{bmatrix} I \end{bmatrix}_{\beta^{\prime}}^{\beta}를 좌표변환행렬change of coordinate matrix 혹은 전이행렬transition matrix라고 한다. v∈V\mathbf{v} \in V에 대해서, 아래의 수식

[v]β=Q[v]β′ [\mathbf{v}]_{\beta} = Q [\mathbf{v}]_{\beta^{\prime}}

가리켜 QQ가 β′\beta^{\prime}-좌표를 β\beta-좌표로 변환한다고 한다.

설명

구체적으로 β={u1,…,un}\beta = \left\{ \mathbf{u}_{1}, \dots, \mathbf{u}_{n} \right\}, β′={u1′,…,un′}\beta^{\prime} = \left\{ \mathbf{u}_{1}^{\prime}, \dots, \mathbf{u}_{n}^{\prime} \right\}라고 하면,

Q=[[u1′]β⋯[un′]β] Q = \begin{bmatrix} [\mathbf{u}_{1}^{\prime}]_{\beta} & \cdots & [\mathbf{u}_{n}^{\prime}]_{\beta} \end{bmatrix}

uj′=∑iQijui \mathbf{u}_{j}^{\prime} = \sum_{i} Q_{ij}\mathbf{u}_{i}

QQ가 β′\beta^{\prime}-좌표를 β\beta-좌표로 변환하면, Q−1Q^{-1}는 β\beta-좌표를 β′\beta^{\prime}-좌료로 변환한다.

정리

β,β′\beta, \beta^{\prime}를 nn차원 벡터공간 VV의 두 순서기저라고 하자. Q=[I]β′βQ = \begin{bmatrix} I \end{bmatrix}_{\beta^{\prime}}^{\beta}라고 하자. 그러면

(a) QQ는 가역행렬이다.

(b) ∀v∈V\forall \mathbf{v} \in V, [v]β=Q[v]β′[\mathbf{v}]_{\beta} = Q [\mathbf{v}]_{\beta^{\prime}}

증명

(a)

보조정리

선형변환 TT가 가역인 것은 [T]βγ\begin{bmatrix} T \end{bmatrix}_{\beta}^{\gamma}가 가역인 것과 동치이다.

항등변환 II가 가역이므로, 보조정리에 의에 QQ는 가역이다.

■

(b)

좌표벡터와 행렬표현의 성질에 의해,

[v]β=[I(v)]β=[I]β′β[v]β′=Q[v]β′ [\mathbf{v}]_{\beta} = \begin{bmatrix} I(\mathbf{v}) \end{bmatrix}_{\beta} = \begin{bmatrix} I \end{bmatrix}_{\beta^{\prime}}^{\beta} [\mathbf{v}]_{\beta^{\prime}} = Q [\mathbf{v}]_{\beta^{\prime}}

■

  1. Stephen H. Friedberg, Linear Algebra (4th Edition, 2002), p110-112 ↩︎

  2. Howard Anton, Elementary Linear Algebra: Aplications Version (12th Edition, 2019), p256-259 ↩︎