logo

행렬 공간 📂선형대수

행렬 공간

정의

체 FF에 대해서, 성분이 FF의 원소인 m×nm \times n 행렬의 집합을 Mm×n(F)M_{m \times n}(F)라고 하자.

Mm×n(F):={[a11⋯a1n⋮⋱⋮am1⋯amn]:aij∈F} M_{m \times n}(F) := \left\{ \begin{bmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} : a_{ij} \in F \right\}

그러면 행렬의 덧셈과 상수곱에 대해서 Mm×n(F)M_{m \times n}(F)는 FF-벡터공간이다.

설명

같은 크기의 행렬들의 집합은 그 자체로 벡터 공간이 된다. 어찌보면 당연하다고도 할 수 있는게 수를 한 줄로 나열하면 순서쌍(벡터)이고, 직사각형으로 나열하면 행렬이 되기 때문이다.

부분공간

영 대각합 행렬

대각합이 00인 행렬을 영 대각합 행렬zero trace matrix라고 하자.

모든 n×nn \times n 영 대각합 행렬들의 집합 WW는 Mn×nM_{n \times n}의 n2−1n^{2}-1차원 부분공간이다. WW의 차원이 n2−1n^{2}-1인 것은 쉽게 확인할 수 있다. 쉬운예로 3×33 \times 3인 경우를 생각해보면, WW는 다음과 같다.

W={[abcdefgh−(a+e)]} W = \left\{ \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & -(a+e) \end{bmatrix} \right\}

따라서 WW는 다음의 집합으로 생성되고, WW의 차원은 32−1=83^{2}-1 = 8이다.

β={[10000000−1],[010000000],[001000000],[000100000],[00001000−1],[000001000],[000000100],[000000010]} \beta = \left\{ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix},\right. \\[1em] \qquad \qquad \left. \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} \right\}

상삼각행렬

모든 n×nn \times n 상삼각행렬들의 집합을 WW라고 하자. 그러면 WW는 Mn×nM_{n \times n}의 ∑k=1nk\sum\limits_{k=1}^{n}k차원 부분공간이다. 3×33 \times 3인 경우를 예로 들면,

W={[abc0de00f]} W = \left\{ \begin{bmatrix} a & b & c \\ 0 & d & e \\ 0 & 0 & f \end{bmatrix} \right\}

이를 생성하는 집합은 다음과 같고 WW의 차원은 1+2+3=61 + 2 + 3 = 6이다.

β={[100000000],[010000000],[001000000],[000010000],[000001000],[000000001]} \beta = \left\{ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}, \right. \\[1em] \qquad \qquad \left. \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \right\}