행렬 공간

정의

체 $F$에 대해서, 성분이 $F$의 원소인 $m \times n$ 행렬의 집합을 $M_{m \times n}(F)$라고 하자.

$$ M_{m \times n}(F) := \left\{ \begin{bmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} : a_{ij} \in F \right\} $$

그러면 행렬의 덧셈과 상수곱에 대해서 $M_{m \times n}(F)$는 $F$-벡터공간이다.

설명

같은 크기의 행렬들의 집합은 그 자체로 벡터 공간이 된다. 어찌보면 당연하다고도 할 수 있는게 수를 한 줄로 나열하면 순서쌍(벡터)이고, 직사각형으로 나열하면 행렬이 되기 때문이다.

부분공간

영 대각합 행렬

대각합이 $0$인 행렬을 영 대각합 행렬^{zero trace matrix}라고 하자.

모든 $n \times n$ 영 대각합 행렬들의 집합 $W$는 $M_{n \times n}$의 $n^{2}-1$차원 부분공간이다. $W$의 차원이 $n^{2}-1$인 것은 쉽게 확인할 수 있다. 쉬운예로 $3 \times 3$인 경우를 생각해보면, $W$는 다음과 같다.

$$ W = \left\{ \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & -(a+e) \end{bmatrix} \right\} $$

따라서 $W$는 다음의 집합으로 생성되고, $W$의 차원은 $3^{2}-1 = 8$이다.

$$ \beta = \left\{ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix},\right. \\[1em] \qquad \qquad \left. \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} \right\} $$

상삼각행렬

모든 $n \times n$ 상삼각행렬들의 집합을 $W$라고 하자. 그러면 $W$는 $M_{n \times n}$의 $\sum\limits_{k=1}^{n}k$차원 부분공간이다. $3 \times 3$인 경우를 예로 들면,

$$ W = \left\{ \begin{bmatrix} a & b & c \\ 0 & d & e \\ 0 & 0 & f \end{bmatrix} \right\} $$

이를 생성하는 집합은 다음과 같고 $W$의 차원은 $1 + 2 + 3 = 6$이다.

$$ \beta = \left\{ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}, \right. \\[1em] \qquad \qquad \left. \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \right\} $$