📂기하학

단면곡률이 같으면 리만곡률도 같다

정리¹

$V$를 $2$차원 이상의 벡터공간, $\left\langle \cdot, \cdot \right\rangle$을 $V$에서 정의된 내적이라고 하자. $R : V \times V \times V \times V \to V$와 $R^{\prime} : V \times V \times V \times V \to V$을 아래의 조건을 만족하는 다중선형함수라고 하자.

$$R(x,y,z,w) = \left\langle R(x,y)z, w \right\rangle,\quad R^{\prime}(x,y,z,w) = \left\langle R^{\prime}(x,y)z, w \right\rangle$$

$$\begin{align*} R(x, y, z, w) + R(y, z, x, w) + R(z, x, y, w) &= 0 \tag{a}\\ R(x, y, z, w) &= - R(y, x, z, w) \tag{b}\\ R(x, y, z, w) &= - R(x, y, w, z) \tag{c}\\ R(x, y, z, w) &= R(z, w, x, y) \tag{d} \end{align*}$$

선형독립인 두 벡터 $x, y$에 대해서 $K, K^{\prime}$을 다음과 같다고 하자.

$$K(\sigma) = \dfrac{R(x,y,x,y)}{\left\| x \times y \right\|^{2}},\quad K^{\prime}(\sigma) = \dfrac{R^{\prime}(x,y,x,y)}{\left\| x \times y \right\|^{2}}$$

여기서 $\sigma$는 기저가 $\left\{ x, y \right\}$인 $2$차원 부분공간이다. 만약 모든 $\sigma \subset V$에 대해서 $K(\sigma) = K^{\prime}(\sigma)$이면, $R = R^{\prime}$이다.

설명

정리에서 말하는 $R$은 리만곡률텐서를 의미하는 것이고, $K$는 단면곡률을 의미한다.

위 정리는 우리가 $2$차원 부분공간에 대한 정보만 있어도, 리만곡률텐서 $R$을 알 수 있다는 것을 말해준다.

증명

증명은 어렵진않고, 계산 노가다를 하면 된다.

Claim: $R(x,y,z,w) = R^{\prime}(x,y,z,w)\quad \forall x,y,z,w \in V$

우선 $K, K^{\prime}$의 정의에 의해 다음이 성립하는 것은 확실하다.

$$\begin{equation} K(\sigma) = K^{\prime}(\sigma) \implies R(x,y,x,y) = R^{\prime}(x,y,x,y) \end{equation}$$

따라서 다음을 얻는다.

$$R(x+z, y, x+z, y) = R^{\prime}(x+z, y, x+z, y)$$

이는 $R, R^{\prime}$의 선형성에 의해 아래와 같다.

$$\begin{align*} R(x,y,x,y) + R(z,y,x,y)\quad &= R^{\prime}(x,y,x,y) + R^{\prime}(z,y,x,y) \\ \quad + R(x,y,z,y) + R(z,y,z,y) &\quad + R^{\prime}(x,y,z,y) + R^{\prime}(z,y,z,y) \end{align*}$$

좌우변의 첫번째, 네번째항은 $(1)$에 의해 소거할 수 있다.

$$R(z,y,x,y) + R(x,y,z,y) = R^{\prime}(z,y,x,y) + R^{\prime}(x,y,z,y)$$

그러면 $(d)$에 의해 각변의 첫째항을 바꿔주면 다음과 같다.

$$\begin{align*} && R(x,y,z,y) + R(x,y,z,y) &= R^{\prime}(x,y,z,y) + R^{\prime}(x,y,z,y) \\ \implies && R(x,y,z,y) &= R^{\prime}(x,y,z,y) \tag{2} \end{align*}$$

$(2)$로부터 아래의 식을 얻는다.

$$R(x, y+w, z, y+w) = R^{\prime}(x, y+w, z, y+w)$$

이도 마찬가지로 선형성에 의해 다음과 같이 쪼개진다.

$$\begin{align*} R(x,y,z,y) + R(x,w,z,y)\quad &= R^{\prime}(x,y,z,y) + R^{\prime}(x,w,z,y) \\ \quad + R(x,y,z,w) + R(x,w,z,w) &\quad + R^{\prime}(x,y,z,w) + R^{\prime}(x,w,z,w) \end{align*}$$

좌우변의 첫뻔째, 네번째항은 $(2)$에 의해 서로 소거된다.

$$\begin{align*} && R(x,w,z,y) + R(x,y,z,w) &= R^{\prime}(x,w,z,y) + R^{\prime}(x,y,z,w) \\ \implies && R(x,y,z,w) -R^{\prime}(x,y,z,w) &= R^{\prime}(x,w,z,y) - R(x,w,z,y) \end{align*}$$

우변의 두 항에 $(b), (d)$를 사용하면,

$$R(x,y,z,w) -R^{\prime}(x,y,z,w) = R(y,z,x,w) - R^{\prime}(y,z,x,w)$$

위 식으로부터 다시 다음을 얻는다.

$$\begin{equation} \begin{aligned} R(x,y,z,w) -R^{\prime}(x,y,z,w) &= R(y,z,x,w) - R^{\prime}(y,z,x,w) \\ &= R(z,x,y,w) - R^{\prime}(z,x,y,w) \end{aligned} \end{equation}$$

이제 $(a)$로부터 다음을 얻는다.

$$R(x,y,z,w) + R(y,z,x,w) + R(z,x,y,w) = 0 \\ R^{\prime}(x,y,z,w) + R^{\prime}(y,z,x,w) + R^{\prime}(z,x,y,w) = 0$$

위 식에서 아래의 식을 빼면 다음과 같다.

$$\left( R(x,y,z,w) - R^{\prime}(x,y,z,w) \right) + \left( R(y,z,x,w) - R^{\prime}(y,z,x,w) \right) \\ \ + \left( R(z,x,y,w) - R^{\prime}(z,x,y,w) \right) = 0$$

이때 괄호로 묶인 세 항은 $(3)$에 의해서 모두 같다. 따라서,

$$3\left( R(x,y,z,w) - R^{\prime}(x,y,z,w) \right) = 0 \\[1em] \implies R(x,y,z,w) = R^{\prime}(x,y,z,w)$$

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