📂선형대수

선형변환의 치역이 커널보다 작을 동치조건

정리¹

$V$가 벡터공간, $T : V \to V$가 선형변환이라고 하자. 그러면 다음이 성립한다.

$$ T^{2} = T_{0} \iff R(T) \subset N(T) $$

이때 $T_{0}$는 영변환, $R(T), N(T)$는 각각 $T$의 치역과 영공간이다.

일반화

$U, V, W$가 벡터공간, $T_{1} : U \to V$, $T_{2} : V \to W$가 선형변환이라고 하자. 그러면 다음이 성립한다.

$$ T_{2}T_{1} = T_{0} \iff R(T_{1}) \subset N(T_{2}) $$

설명

생각해보면 당연한 얘기긴 하다. 일반적으로 쓴 정리의 증명 방법도 같다.

한편 $T^{2} = T_{0}$인 선형변환을 멱영이라 한다.

증명

$(\Longrightarrow)$

$T^{2} = T_{0}$라고 하자. $T(x) \in R(T)$ $(x\in V)$라고하자. 그러면

$$ T(T(x)) = T^{2}(x) = 0 $$

따라서 $N(T)$의 정의에 의해 $T(x) \in N(T)$이다. 그러므로

$$ R(T) \subset N(T) $$

$(\Longleftarrow)$

$R(T) \subset N(T)$라고 하자. 그러면 모든 $x \in V$에 대해서, $T(x) \in R(T) \subset N(T)$이므로, $N(T)$의 정의에 의해,

$$ T^{2}(x) = T(T(x)) = 0 $$

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