📂기하학

레비-치비타 접속, 리만 접속, 커넥션의 계수, 크리스토펠 기호

정리¹

$(M,g)$를 리만다양체라고 하자. 그러면 다음을 만족하는 $M$ 위의 아핀 접속 $\nabla$가 유일하게 존재한다.

• $\nabla$가 대칭이다.
• $\nabla$가 $g$와 양립가능하다.

이러한 $\nabla$는 구체적으로 다음의 식을 만족한다.

$$\begin{align*} g(Z, \nabla_{Y}X) =&\ \dfrac{1}{2}\Big( X g(Y, Z) + Y g(Z, X) - Z g(X, Y) \\ &\ - g([X, Z], Y) - g([Y, Z], X) - g([X, Y], Z) \Big) \tag{1} \end{align*}$$

설명

이러한 접속 $\nabla$를 레비-치비타(혹은 리만) 접속^{Levi-Civita(or Riemannian) connection}이라 한다.

탄젠트 공간의 기저를 $\left\{ \dfrac{\partial }{\partial x_{i}} \right\} \overset{\text{denote}}{=} \left\{ X_{i} \right\}$와 같이 표기하자. 접속의 정의에 의해 $\nabla_{X_{i}}X_{j}$ 이 자체도 벡터필드이다. 따라서 $X_{k}$들의 선형결합으로 나타낼 수 있다. 아인슈타인 표기법에 의해,

$$\nabla_{X_{i}}X_{j} = \sum_{k}\Gamma_{ij}^{k}X_{k} = \Gamma_{ij}^{k}X_{k}$$

위 벡터필드는 $X_{i}, X_{j}$로 결정되므로 계수를 $\Gamma_{ij}^{k}$라 표기하자. 이를 커넥션의 계수^{coefficients of the connection $\nabla$} 혹은 크리스토펠 기호^{Christoffel symbol of the connection}라 한다. 미분기하에서는 크리스토펠 기호를 좌표조각사상 $\mathbf{x}$의 2계도함수 $\mathbf{x}_{ij}$의 계수로 정의했는데, 이 둘이 같다는 것을 보일 수 있다. $(1)$의 좌변에 $X_{i}, X_{j}, X_{k}$를 대입해보면,

$$\begin{align*} g(\nabla_{X_{j}}X_{i}, X_{k}) = g\left( \Gamma_{ji}^{l}X_{l}, X_{k} \right) = \Gamma_{ji}^{l}g_{lk} \end{align*}$$

우변을 계산해보면, $[X_{i}, X_{j}] = 0$이므로,

$$\begin{align*} & \dfrac{1}{2}\left( X_{i}g(X_{j}, X_{k}) + X_{j}g(X_{i}, X_{k}) - X_{k}g(X_{i}, X_{j}) \right) \\ =& \dfrac{1}{2}\left( X_{i}g_{jk} + X_{j}g_{ik} - X_{k}g_{ij} \right) \\ \end{align*}$$

따라서

$$\begin{align*} && \Gamma_{ji}^{l}g_{lk} &= \dfrac{1}{2}\left( X_{i}g_{jk} + X_{j}g_{ik} - X_{k}g_{ij} \right) \\ \implies && \sum_{k}\Gamma_{ji}^{l}g_{lk}g^{ks} &= \sum_{k}\dfrac{1}{2}g^{ks}\left( X_{i}g_{jk} + X_{j}g_{ik} - X_{k}g_{ij} \right) \\ \implies && \Gamma_{ji}^{l}\delta_{l}^{s} &= \sum_{k}\dfrac{1}{2}g^{ks}\left( X_{i}g_{jk} + X_{j}g_{ik} - X_{k}g_{ij} \right) \\ \implies && \Gamma_{ji}^{s} &= \sum_{k}\dfrac{1}{2}g^{ks}\left( X_{i}g_{jk} + X_{j}g_{ik} - X_{k}g_{ij} \right) \\ \end{align*}$$

따라서 정리하면 다음을 얻는다.

$$\Gamma_{ij}^{k} = \dfrac{1}{2}g^{mk}\left( \dfrac{\partial }{\partial x_{i}}g_{jm} + \dfrac{\partial }{\partial x_{j}}g_{im} - \dfrac{\partial }{\partial x_{m}}g_{ij} \right)$$

이는 미분기하에서 $\mathbb{R}^{3}$ 위의 곡면에 대해 얻은 식과 같다. 특히나 유클리드 공간 $\mathbb{R}^{n}$에서는 메트릭이 $g_{ij} = \delta_{ij}$로 상수이기 때문에, $\Gamma_{ij}^{k} = 0$이다.

처음 아핀 접속을 정의할 때 $\nabla_{X}Y$는 명시적으로 주어지지 않고, 특정한 성질을 만족시키는 추상적인 개념으로만 정의되었다. 그러나 이러한 접속 $\nabla$에 리만메트릭 $g$가 주어지면 메트릭의 계수 $g_{ij}$들로 $\nabla_{X}Y$가 분명하게 결정됨을 알 수 있다. $X = u^{i}X_{i}, Y= v^{j}X_{j}$라고 표기하면,

$$\begin{align*} \nabla_{X}Y = \nabla_{u^{i}X_{i}}v^{j}X_{j} &= u^{i}X_{i}(v^{j})X_{j} + u^{i}v^{j}\nabla_{X_{i}}X_{j} \\ &= u^{i}X_{i}(v^{j})X_{j} + u^{i}v^{j}\Gamma_{ij}^{k}X_{k} \\ &= u^{i}X_{i}(v^{k})X_{k} + u^{i}v^{j}\Gamma_{ij}^{k}X_{k} \\ &= \left( u^{i}X_{i}(v^{k}) + u^{i}v^{j}\Gamma_{ij}^{k}\right)X_{k} \\ &= \left( u^{i}X_{i}(v^{k}) + u^{i}v^{j}\Gamma_{ij}^{k}\right)X_{k} \\ \end{align*}$$

$X = X^{i}\dfrac{\partial }{\partial x_{i}}, Y = Y^{i}\dfrac{\partial }{\partial x_{j}}$라고 표기하면,

$$\begin{align*} \nabla_{X}Y &= \left( X^{i}\dfrac{\partial Y^{k}}{\partial x_{i}} + X^{i}Y^{j}\Gamma_{ij}^{k}\right)\dfrac{\partial }{\partial x_{k}} \\ &= \sum_{i,k}\left( X^{i}\dfrac{\partial Y^{k}}{\partial x_{i}} + \sum_{j}X^{i}Y^{j}\Gamma_{ij}^{k}\right)\dfrac{\partial }{\partial x_{k}} \end{align*}$$

또한 벡터필드 $V = v^{j}X_{j}$의 공변도함수는 다음과 같다.

$$\dfrac{DV}{dt} = \sum_{k} \left( \dfrac{d v^{k}}{dt} + \sum_{i,j} v^{j}\frac{dc_{i}}{dt} \Gamma_{ij}^{k} \right) X_{k}$$

증명

• Part 1. 유일성

  정리의 조건을 만족하는 접속 $\nabla$가 존재한다고 가정하자. 그러면 $\nabla$가 양립가능하므로, 벡터필드 $X,Y,Z \in$ $\mathfrak{X}(M)$에 대해서 다음이 성립한다.

  $$\begin{align*} X g(Y, Z) =&\ g(\nabla_{X}Y, Z) + g(Y, \nabla_{X}Z) \\ Y g(Z, X) =&\ g(\nabla_{Y}Z, X) + g(Z, \nabla_{Y}X) \\ Z g(X, Y) =&\ g(\nabla_{Z}X, Y) + g(X, \nabla_{Z}Y) \\ \end{align*}$$

  첫번째 식과 두번째 식을 더하고 세번째 식을 빼면, $\nabla$가 대칭이므로 다음을 얻는다.

  $$\begin{align*} &\ X g(Y, Z) + Y g(Z, X) - Z g(X, Y) \\ =&\ g(\nabla_{X}Y, Z) + {\color{red}g(Y, \nabla_{X}Z)} + {\color{blue}g(\nabla_{Y}Z, X)} + g(Z, \nabla_{Y}X) - {\color{red}g(\nabla_{Z}X, Y)} - {\color{blue}g(X, \nabla_{Z}Y)} \\ =&\ {\color{red}g(\nabla_{X}Z-\nabla_{Z}X, Y)} + {\color{blue}g(\nabla_{Y}Z - \nabla_{Z}Y, X)} + g(\nabla_{X}Y, Z) + g(Z, \nabla_{Y}X) \\ =&\ g([X, Z], Y) - g([Y, Z], X) - g(\nabla_{X}Y, Z) + g(Z, \nabla_{Y}X) \end{align*}$$

  여기에 $0=g(\nabla_{Y}X, Z)-g(\nabla_{Y}X, Z)$를 더해서 정리하면

  $$X g(Y, Z) + Y g(Z, X) - Z g(X, Y) \\ = g([X, Z], Y) + g([Y, Z], X) + g([X, Y], Z) + 2g(Z, \nabla_{Y}X)$$

  우변의 마지막항을 기준으로 정리하면 다음과 같다.

  $$\begin{align*} g(Z, \nabla_{Y}X) =&\ \dfrac{1}{2}\Big( X g(Y, Z) + Y g(Z, X) - Z g(X, Y) \\ &\ - g([X, Z], Y) - g([Y, Z], X) - g([X, Y], Z) \Big) \tag{1} \end{align*}$$

  이제 이러한 다른 접속 $\nabla^{\prime}$가 존재한다고 해보자.

  $$\begin{align*} g(Z, \nabla^{\prime}_{Y}X) =&\ \dfrac{1}{2}\Big( X g(Y, Z) + Y g(Z, X) - Z g(X, Y) \\ &\ - g([X, Z], Y) - g([Y, Z], X) - g([X, Y], Z) \Big) \end{align*}$$

  이 두 식을 빼면,

  $$g(Z, \nabla_{Y}X)-g(Z, \nabla^{\prime}_{Y}X) = g(Z, \nabla_{Y}X - \nabla^{\prime}_{Y}X) = 0$$

  내적의 성질에 의해서 위 식이 모든 $Z$에 대해서 성립하려면 $\nabla_{Y}X - \nabla^{\prime}_{Y}X=0$이어야한다. 따라서 이러한 접속 $\nabla$는 유일하다.

  $$\nabla_{Y}X = \nabla^{\prime}_{Y}X$$

• Part 2. 존재성

  $\nabla$를 $(1)$과 같이 정의하면, 잘 정의되고 정리의 조건을 잘 만족함을 알 수 있다.

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