📂기하학

양립가능한 접속

정의¹

$M$을 아핀 접속 $\nabla$와 리만 메트릭 $g$가 주어진 미분다양체라고 하자. 모든 미분가능한 곡선 $c$에 대해서, 임의의 두 $c$를 따라 평행한 벡터필드 $P, P^{\prime}$가 $g(P, P^{\prime}) = \text{constant}$를 만족하면, 접속 $\nabla$를 메트릭 $g$와 양립가능^compatible고 한다.

설명

아래의 따름정리를 양립가능함의 정의로 기술하기도 한다. 위의 정의는 $g(P, P^{\prime}) = \text{constant}$라는 조건으로부터 양립가능하다는 것의 의미를 생각하기 쉬우나 실제로 쓰기엔 어렵고, 따름정리의 조건은 실제로 수식적으로 써먹기에는 유용하지만 그 의미가 한눈에 보이지는 않는다.

정리

$(M,g)$를 리만다양체라고 하자. 접속 $\nabla$가 $g$와 양립가능한 것의 동치조건은, 미분가능한 곡선 $c: I \to M$을 따르는 모든 벡터필드 $V ,W$에 대해서 다음이 성립하는 것이다.

$$\dfrac{d }{d t}g(V,W) = g\left( \dfrac{DV}{dt}, W \right) + g\left( V, \dfrac{DW}{dt} \right),\quad t\in I$$

따름 정리

리만 다양체 $(M,g)$ 위의 접속 $\nabla$가 메트릭 $g$와 양립가능한 것의 동치는 다음이 성립하는 것이다.

$$X g(Y,Z) = g\left( \nabla_{X}Y, X \right) + g\left(Y, \nabla_{X}Z \right),\quad X,Y,Z \in \mathfrak{X}(M)$$

이때 $\mathfrak{X}(M)$은 $M$ 위의 벡터필드들의 집합니다.