기하학에서의 오일러 지표
정의
쉬운 정의
임의의 도형이 하나 주어졌다고 하자. 점의 개수를 $V$vertex, 모서리의 개수를 $E$edge, 면의 개수를 $F$face라고 하자. 이 도형의 오일러 지표Euler characteristic $\chi$를 다음과 같이 정의한다.
$\chi := V - E + F$
어려운 정의1
곡면 $M$의 리젼 $\mathscr{R}$에 대해서, 가우스-보네 정리를 만족시키는 $\chi(\mathscr{R}) \in \mathbb{Z}$를 $\mathscr{R}$의 오일러지표라고 한다.
$$ \sum_{i=1}^{n} \int_{C_{i}}K_{g}ds + \iint_{R} K dA + \sum\theta_{i} = 2\pi \chi(\mathscr{R}) $$
같이보기
그래프이론에서의 오일러 표수
원래 오일러 표수는 그래프 이론에서 가장 유명한데, 오일러의 다면체 정리 혹은 오일러 공식은 연결 평면 그래프에 대해서 $\chi = 2$ 이라는 그래프이론의 정리다.
기하학에서의 오일러 지표
가우스-보네 정리의 방정식을 만족시키는 정수로써 정의된다.
대수위상에서의 오일러 지표
각 차원의 베티 수의 교대합으로써 정의된다.
Richard S. Millman and George D. Parker, Elements of Differential Geometry (1977), p189-190 ↩︎