📂기하학

미분기하에서 전각변동

정의¹

정칙 곡선 $\gamma$를 조각마다 단순 곡선이고, 주기가 $L$인 폐곡선이라 하자. $\mathbf{Z}(t)$를 $\gamma$를 따르는 연속인 벡터 필드라고 하자. 벡터필드 $\mathbf{V}$가 $\left| \mathbf{V}(p) \right| = 1$ $\forall p \in U$를 만족한다고 하자. $\alpha$를 $\mathbf{Z}$와 $\mathbf{V}$사이의 각도를 매핑하는 함수라고 하자.

$$ \alpha (t) = \angle \left( \mathbf{V}(\gamma (t)), \mathbf{Z}(t) \right) $$

이제 $\gamma$를 따르는 벡터필드 $\mathbf{Z}$의 $\mathbf{V}$에 대한 전각변동^{total angular variation} $\delta_{\mathbf{V}} \alpha$를 다음가 같이 정의한다.

$$ \delta_{\mathbf{V}}\alpha := \int_{0}^{L} \dfrac{d \alpha (t)}{d t} dt $$

설명

$t=0$부터 $t=L$까지 $\mathbf{Z}$의 방향이 (기준 $\mathbf{V}$에 대해서) 얼마나 변화하는지를 나타내는 값이다.

정의에 의해 일반적으로 $\delta_{\mathbf{V}}\alpha$는 $\mathbf{V}$에 의존하지만, 곡선 $\gamma$의 성질에 따라 $\mathbf{V}$에 의존하지 않는 경우도 있다.

정리

곡선 $\gamma$가 리젼 $\mathscr{R}$을 둘러싸고있는 널 호모토픽이라고하자. 그러면 $\delta_{\mathbf{V}}\alpha$는 $\mathbf{V}$의 선택에 의존하지 않는다.