📂기하학

곡면의 기본 정리

정리¹

열린집합 $U \subset \mathbb{R}^{2}$에 대해서, $U$ 안의 임의의 두 점이 $U$ 안의 곡선으로 연결된다고 하자. 그리고 함수 $L_{ij}, g_{ij} : U \to \mathbb{R}\ (i,j = 1,2)$가 미분가능하고 다음과 같은 성질을 갖는다고 하자.

1. $L_{12} = L_{21}$, $g_{12} = g_{21}$, $g_{11}, g_{22} > 0$, 그리고 $g_{11}g_{22} - (g_{12})^{2} > 0$
2. $L_{ij}, g_{ij}$가 가우스 방정식과 코다찌-마이나르디 방정식을 만족한다고 하자.

$$ \dfrac{\partial \Gamma_{ik}^{l}}{\partial u^{j}} - \dfrac{\partial \Gamma_{ij}^{l}}{\partial u^{k}} + \sum_{p} \left( \Gamma_{ik}^{p} \Gamma_{pj}^{l} - \Gamma_{ij}^{p}\Gamma_{pk}^{l}\right) = L_{ik}L_{j}^{l} - L_{ij}L_{k}^{l} $$

$$ \dfrac{\partial L_{ij}}{\partial u^{k}_{}} - \dfrac{\partial L_{ik}}{\partial u^{j}} = \sum\limits_{l} \left( \Gamma_{ik}^{l}L_{lj} - \Gamma_{ij}^{l}L_{lk} \right) $$

이때, $\Gamma_{ij}^{k} = \dfrac{1}{2} \sum \limits_{l=1}^{2} g^{lk} \left( \dfrac{\partial g_{lj}}{\partial u_{i}} - \dfrac{\partial g_{ij}}{\partial u_{l}} + \dfrac{\partial g_{il}}{\partial u_{j}} \right)$이다.

그러면 $p \in U$에 대해서, '$p \in V \subset U$이고 $g_{ij}$와 $L_{ij}$를 제1 기본형식의 계수, 제2 기본형식의 계수로 갖는 좌표조각사상 $\mathbf{x} : V \to \mathbb{R}^{3}$가 유일하게 존재하도록 하는' 열린집합 $V$가 존재한다.

설명

곡선의 기본정리의 핵심은 '곡률과 토션으로 곡선이 유일하게 결정된다' 그리고 '미분가능한 $\overline{\kappa} >0$와 연속인 $\overline{\tau}$에 대해서, 이를 곡률과 토션으로 갖는 곡선이 존재한다'였다.

이와 마찬가지로 곡면의 기본정리가 말하는 것은 '곡면은 가우스 방정식과 코다찌-마이나르디 방정식으로 유일하게 결정된다'이다.