📂기하학

미분기하에서 국소 등거리 사상

정의¹

두 곡면 사이에서 정의된 함수 $f : M \to N$가 주어졌다고 하자. 모든 점 $p \in M$에 대해서 축소사상 $f|_{U} : U \to V$가 등거리사상이 되도록 하는 열린 집합

$$ U, V \ \text{ such that }\ p \in U \subset M, V \subset N $$

가 존재하면, $M$과 $N$이 국소적으로 등거리^{locally isometric}라고 한다. 또한 이러한 $f$를 국소 등거리 사상^{locally isometry}라고 한다.

설명

등거리사상의 정의에서 전단사라는 강력한 조건이 완화된 것이다. 당연하게도 $f$가 등거리 사상이면, 임의의 축소사상 $f|_{U} : U \to M$은 국소 등거리사상이다.

다음의 정리로부터 국소적으로 등거리인 두 곡면은 각 점에서 같은 내재적 성질을 갖는다는 것을 알 수 있다. 또한 등거리 사상은 곡면 위의 곡선을 이용해 정의되는데, 다음의 정리는 이러한 곡선이 없어도 등거리라는 성질에 대해서 말할 수 있다는 것을 알려준다.

정리

다음의 두 명제는 동치이다.

• 두 곡면 $M$과 $N$이 국소적으로 등거리이다.

• 모든 $p \in M$에 대해서, 열린집합 $U \subset \mathbb{R}^{2}$와 제1 기본형식의 계수 $g_{ij}$가 같은 두 좌표조각사상 $\mathbf{x} : U \to M$, $\mathbf{y} : U \to N$ $(p \in \mathbf{x}(U))$이 존재한다.

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