📂기하학

미분기하에서 등거리 사상

정의¹

두 곡면 $M, N$ 사이의 함수 $f : M \to N$가 주어졌다고 하자. 다음의 조건을 만족하는 $f$를 등거리 사상^isometry이라 한다.

• $f$가 미분가능하다.
• $f$가 전단사이다.
• 모든 곡선 $\boldsymbol{\gamma}:[c,d] \to M$에 대해서 $\boldsymbol{\gamma}$의 길이와 $f \circ \boldsymbol{\gamma}$의 길이가 같다.

$M$과 $N$ 사이에 등거리사상 $f$가 존재하면, $M$과 $N$이 등거리^isometric라고 한다.

설명

쉽게 말해서 등거리사상이란, 곡면 $M$ 위의 곡선을 $N$으로 옮겼을 때, 혹은 반대로 했을 때 길이가 보존되는 사상이다.

미분기하는 미분을 통해 기하를 설명하므로 미분가능함은 자연스러운 조건이고, 곡면 $M$과 $N$을 양방향으로 오고가는데 문제가 없어야하므로 전단사여야한다. 또한 거리가 보존되는 사상이 대해 얘기하고 싶은 것이니, 등거리사상이라 부르려면 마지막 조건 또한 당연히 만족해야할 것이다.

정리

$f : M \to N$을 등거리사상, $\boldsymbol{\gamma} : [c,d] \to M$을 정칙 곡선이라고 하자. 그러면 $\dfrac{d \boldsymbol{\gamma}}{d t}$와 $\dfrac{d (f \circ \boldsymbol{\gamma})}{d t}$의 길이는 같다.

$$\left| \dfrac{d \boldsymbol{\gamma}}{d t} \right| = \left| \dfrac{d (f \circ \boldsymbol{\gamma})}{d t} \right|$$

증명

$f$가 등거리사상이라고 했으므로, 각각의 $t^{\ast} \in (c,d)$에 대해 $\boldsymbol{\gamma}$와 $f \circ \boldsymbol{\gamma}$의 길이는 같다.

$$\ell_{[c,t^{\ast}]}(\gamma) = \ell_{[c, t^{\ast}]} (f \circ \gamma), \quad t^{\ast} \in (c,d)$$

$$\implies \int_{c}^{t^{\ast}} \left| \dfrac{d \boldsymbol{\gamma}}{d t} \right|dt = \int_{c}^{t^{\ast}} \left| \dfrac{d (f \circ \boldsymbol{\gamma})}{d t} \right|dt$$

양변을 $t^{\ast}$에 대해서 미분하면 다음을 얻는다.

$$\left| \dfrac{d \boldsymbol{\gamma}}{d t} \right| = \left| \dfrac{d (f \circ \boldsymbol{\gamma})}{d t} \right|$$

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같이보기

• 국소 등거리 사상