📂기하학

가우스의 위대한 정리

정리¹

가우스 곡률 $K$는 내재적이고, 다음이 성립한다.

$$K = \dfrac{\sum\limits_{l} R_{121}^{l}g_{l2}}{g}$$

이때 $R_{ijk}^{l}$은 리만 곡률 텐서의 계수, $g$와 $g_{ij}$는 리만 메트릭의 계수이다.

따름정리

$R_{ijk}^{l} = \dfrac{\partial \Gamma_{ik}^{l}}{\partial u^{j}} - \dfrac{\partial \Gamma_{ij}^{l}}{\partial u^{k}} + \sum_{p} \left( \Gamma_{ik}^{p} \Gamma_{pj}^{l} - \Gamma_{ij}^{p}\Gamma_{pk}^{l}\right) \text{ for }$이므로, 다음이 성립한다.

$$K = \dfrac{1}{g}\left( \dfrac{\partial \Gamma_{11}^{1}}{\partial u^{2}} - \dfrac{\partial \Gamma_{12}^{1}}{\partial u^{1}} + \Gamma_{11}^{1} \Gamma_{12}^{1} - \Gamma_{12}^{1}\Gamma_{11}^{1} + \Gamma_{11}^{2} \Gamma_{22}^{1} - \Gamma_{12}^{2}\Gamma_{21}^{1}\right) \left( \dfrac{\partial \Gamma_{11}^{2}}{\partial u^{2}} - \dfrac{\partial \Gamma_{12}^{2}}{\partial u^{1}} + \Gamma_{11}^{1} \Gamma_{12}^{2} - \Gamma_{12}^{1}\Gamma_{11}^{2} + \Gamma_{11}^{2} \Gamma_{22}^{2} - \Gamma_{12}^{2}\Gamma_{21}^{2}\right)$$

설명

이를 Gauss’s Theorem Egregium이라 한다. Theorem Egregium은 위대한 정리, 빼어난 정리 등으로 번역되며, 이 말은 가우스 본인이 직접 라틴어 논문에서 사용한 것이다².

가우스가 이에 egregium이라는 표현을 쓴 것은 가우스 곡률 $K$가 전혀 그럴 것이라고 생각되지 않기 때문이다 가우스 곡률은 주곡률의 곱으로 정의되고, 주곡률은 단위 노멀 $\mathbf{n}$의 변화율을 재는 바인가르텡 맵으로부터 구한다. 즉 $K$는 굉장히 외재적이게^{extrinsically} 정의되어 있지만, 사실은 내재적^intrinsic이기 때문에 가우스가 이러한 이름을 붙였다고 볼 수 있다.

증명

가우스 방정식에 의해 $R_{ijk}^{l} = L_{ik}L_{j}^{l} - L_{ij}L_{k}^{l}$이다. 따라서 다음을 얻는다.

$$\begin{align*} \sum\limits_{l} R_{ijk}^{l} g_{lm} &= \sum\limits_{l} ( L_{ik}L_{j}^{l} - L_{ij}L_{k}^{l} ) g_{lm} \\ &= \sum\limits_{l} ( L_{ik}L_{j}^{l}g_{lm} - L_{ij}L_{k}^{l}g_{lm} ) \\ &= L_{ik}\sum\limits_{l}L_{j}^{l}g_{lm} - L_{ij}\sum\limits_{l}L_{k}^{l}g_{lm} \end{align*}$$

여기서 $g_{lm}$은 제1 기본형식의 계수이다. 이때 $L_{j}^{l} = \sum\limits_{i} L_{ij}g^{il}$이고, $\sum\limits_{k}g_{ik}g^{kj} = \delta_{i}^{j}$이므로 다음을 얻는다.

$$\begin{align*} && L_{j}^{l} &= \sum_{i} L_{ij}g^{il} \\ \implies && \sum\limits_{l} L_{j}^{l}g_{lm} &= \sum\limits_{l} \sum\limits_{i} L_{ij}g^{il}g_{lm} \\ && &= \sum\limits_{i} L_{ij}\delta_{m}^{i} \\ && &= L_{mj} \end{align*}$$

이를 위 식에 대입하면,

$$\sum\limits_{l} R_{ijk}^{l} g_{lm} = L_{ik}L_{mj} - L_{ij}L_{mk}$$

$i = k = 1$ 그리고 $j = m = 2$라고 두면,

$$\begin{align*} \sum\limits_{l} R_{121}^{l}g_{l2} &= L_{22}L_{22} - L_{12}L_{12} = \det ([L_{ij}]) = \det ([(L_{j}^{k}) (g_{ik})]) \\ &= \det ([L_{j}^{k}]) \det([g_{ik}]) = Kg \end{align*}$$

따라서

$$K = \dfrac{\sum\limits_{l} R_{121}^{l}g_{l2}}{g}$$

$g$는 내재적이고 $R_{ijk}^{l}$도 내재적이므로, $K$는 내재적이다.

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