📂기하학

바인가르텡 방정식

정리¹

곡면 $M$ 위에서 다음의 식이 성립한다.

$$ \mathbf{n}_{j} = - \sum_{k} {L^{k}}_{j}\mathbf{x}_{k} $$

이때 $\mathbf{x} : U \to M$은 좌표조각사상, $\mathbf{n}$은 단위 노멀, ${L^{k}}_{j} = \sum\limits_{i}L_{ij}g^{ik}$이다.

설명

곡선의 프레네-세레 프레임 $\left\{ \mathbf{T}, \mathbf{N}, \mathbf{B} \right\}$를 생각해보자. 이는 서로 수직한 3개의 벡터이므로 $\mathbb{R}^{3}$의 기저가 된다. 또한 각각의 미분은 다른 벡터의 선형결합으로 표현되고 이를 프레네-세레 공식이라 한다.

$$ \begin{align*} \mathbf{T}^{\prime}(s) =&\ \kappa (s) \mathbf{N}(s) \\ \mathbf{N}^{\prime}(s) =&\ - \kappa (s) \mathbf{T}(s) + \tau (s) \mathbf{B}(s) \\ \mathbf{B}^{\prime}(s) =&\ - \tau (s) \mathbf{N}(s) \end{align*} $$

이제 집합 $\left\{ \mathbf{x}_{1}, \mathbf{x}_{2}, \mathbf{n} \right\}$을 생각해보자. $\mathbf{x}_{1}$와 $\mathbf{x}_{2}$는 탄젠트 공간을 생성하고 $\mathbf{n}$은 이 둘과 수직이므로, 이 집합도 $\mathbb{R}^{3}$의 기저가 된다. 그러면 이제 가우스 공식과 바인가르텡 방정식으로부터, 곡면 $M$에 대해서 프레네-세레 공식과 비슷한 역할을 하는 다음의 공식을 얻을 수 있다.

$$ \begin{align*} \mathbf{x}_{ij} &= L_{ij}\mathbf{n} + \sum_{k} \Gamma_{ij}^{k}\mathbf{x}_{k} \\ \mathbf{n}_{j} &= - \sum_{k} {L^{k}}_{j}\mathbf{x}_{k} \end{align*} $$

증명

$\mathbf{n}_{j} = - L(\mathbf{x}_{j})$가 성립하므로,

$$ \mathbf{n}_{j} = - L(\mathbf{x}_{j}) = - \sum_{k} {L^{k}}_{j}\mathbf{x}_{k} $$

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