📂기하학

제2 기본형식의 성질

정의

제2 기본형식이란, 탄젠트 공간 $T_{p}M$위의 쌍선형 형식으로써 다음과 같이 정의된다. 두 탄젠트 벡터 $\mathbf{X}=\sum X^{i}\mathbf{x}_{i}$, $\mathbf{Y} = \sum Y^{j}\mathbf{x}_{j}$에 대해서,

$$II ( \mathbf{X}, \mathbf{Y}) = \sum _{i,j} L_{ij} X^{i} Y^{j}$$

이때 계수 $L_{ij}$는 다음과 같다.

$$L_{ij} = \left\langle \mathbf{x}_{ij}, \mathbf{n} \right\rangle$$

성질¹

1. $II$는 대칭이다.

2. $\mathbf{T}$를 단위 속력 곡선 $\boldsymbol{\gamma}$의 탄젠트 필드라고 하면, $\kappa_{n} = II (\mathbf{T}, \mathbf{T})$가 성립한다. $\kappa_{n}$은 법곡률이다.

3. $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}$를 $\boldsymbol{\alpha}(0) = \boldsymbol{\beta}(0)$가 성립하는 정칙 곡선라고 하자. 만약 $\lambda \ne 0$에 대해서 두 곡선의 속도벡터가 $\boldsymbol{\alpha}^{\prime}(0) = \lambda \boldsymbol{\beta}^{\prime}(0)$를 만족하면, $t=0$일 때 두 곡선의 법곡률 $\kappa_{n}$은 같다.

설명

3. $t=0$일 때로 기술되었지만 당연히 임의의 $t$에 대해서 일반화된다.

   탄젠트는 속도 벡터의 크기를 $1$로 만든 것이므로 속도 벡터가 상수배라는 것은 두 곡선의 탄젠트에 대해서 $T_{\boldsymbol{\alpha}} = \pm T_{\boldsymbol{\beta}}$가 성립한다는 것과 같다.

   같은 방향의 탄젠트를 가지는 곡선의 법곡률은 같다는 의미로, 법곡률은 곡선에 의존하지 않고 탄젠트에 의해서만 결정된다는 것을 알 수 있다.

증명

성질1

$II$가 대칭이라는 것은 $II( \mathbf{X}, \mathbf{Y} ) = II( \mathbf{Y}, \mathbf{X} )$ 혹은 $L_{ij} = L_{ji}$가 성립한다는 의미이다. 좌표조각사상 $\mathbf{x}$는 충분히 매끄러운것으로 가정하므로, $\mathbf{x}_{ij} = \mathbf{x}_{ji}$이 성립한다. 따라서,

$$L_{ij} = \left\langle \mathbf{x}_{ij}, \mathbf{n} \right\rangle = \left\langle \mathbf{x}_{ji}, \mathbf{n} \right\rangle = L_{ji}$$

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성질2

$\boldsymbol{\gamma}(s) = \mathbf{x}\left( \gamma^{1}(s), \gamma^{2}(s) \right)$를 단위속력곡선이라고 하자. 그러면 탄젠트는, 연쇄법칙에 의해, 다음과 같다.

$$\begin{align*} \mathbf{T} &= \dfrac{d \boldsymbol{\gamma}}{d s} = \dfrac{d }{d s}\mathbf{x}\left( \gamma^{1}(s), \gamma^{2}(s) \right) \\ &= \dfrac{\partial \mathbf{x}}{\partial \gamma^{1}}\dfrac{\partial \gamma^{1}}{\partial s} + \dfrac{\partial \mathbf{x}}{\partial \gamma^{2}}\dfrac{\partial \gamma^{2}}{\partial s} \\ &= (\gamma^{1})^{\prime}\mathbf{x}_{1} + (\gamma^{2})^{\prime}\mathbf{x}_{2} \\ &= T^{1}\mathbf{x}_{1} + T^{2}\mathbf{x}_{2} \end{align*}$$

$$\implies T^{i} = (\gamma^{i})^{\prime}$$

보조정리

임의의 단위 속력 곡선 $\boldsymbol{\gamma}(s) = \mathbf{x}\left( \gamma^{1}(s), \gamma^{2}(s) \right)$에 대해서,

$$\kappa_{n} = \sum \limits_{i=1}^{2} \sum \limits_{j=1}^{2} L_{ij} (\gamma^{i})^{\prime} (\gamma^{j})^{\prime}$$

그러면 제2 기본형식의 정의와 위의 보조정리에 의해 다음이 성립한다.

$$II(\mathbf{T}, \mathbf{T}) = \sum\limits_{i, j} L_{ij}T^{i}T^{j} = \sum \limits_{i, j} L_{ij} (\gamma^{i})^{\prime} (\gamma^{j})^{\prime} = \kappa_{n}$$

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성질3

$\boldsymbol{\alpha}$와 $\boldsymbol{\beta}$의 $t=0$에서의 탄젠트 벡터를 각각 $T_{\boldsymbol{\alpha}}, T_{\boldsymbol{\beta}}$라고 하자. 그러면 $\boldsymbol{\alpha} ^{\prime}(0) = \lambda \boldsymbol{\beta} ^{\prime}(0)$이라 가정했으므로 다음이 성립한다.

$$T_{\boldsymbol{\alpha}} = \pm T_{\boldsymbol{\beta}}$$

따라서 다음이 성립한다.

$$II ( T_{\boldsymbol{\alpha}}, T_{\boldsymbol{\alpha}}) = II ( \pm T_{\boldsymbol{\beta}}, \pm T_{\boldsymbol{\beta}}) = II ( T_{\boldsymbol{\beta}}, T_{\boldsymbol{\beta}})$$

그러므로 성질2에 의해서 $t=0$일 때 두 곡선의 법곡률은 같다.

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