📂기하학

측지선의 유일성 정리

정리¹

$p$를 곡면 $M$의 점이라고 하자. $\mathbf{X} \in T_{p}M$를 점 $p$에서의 단위 탄젠트 벡터라고 하자. 그러면 다음의 초기값 조건을 만족하는 측지선 $\boldsymbol{\gamma} : (-\epsilon, \epsilon) \to M$이 유일하게 존재한다.

$$\boldsymbol{\gamma} (0) = p \quad \text{and} \quad \boldsymbol{\gamma}^{\prime}(0) = \mathbf{X}$$

설명

이 정리는 국소적^locally인 영역에 한해서는 곡면 위의 두 점을 잇는 최단거리 직선이 존재함을 말해준다.

글로벌한 영역에서는 최단거리인 측지선이 존재함을 보장할 수 없다. 간단한 예로 원점을 포함하지 않는 단위원을 생각해보자. 그러면 다음 그림과 같이 점 $a$에서 $b$로 가는 최단거리의 직선은 존재하지 않음을 알 수 있다.

증명

전략: 미분기하학에서 유일성과 존재성에 대한 정리는 거의 대부분 ODE 시스템의 해가 존재한다는 피카드 정리에 의해 증명된다.

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$\mathbf{x}$를 점 $p$에 대해서 $p = \mathbf{x}(0,0)$을 만족하는 좌표 조각 사상이라고 하자. $(u^{1}, u^{2})$는 $\mathbf{x} : U \to M$에서 $U$의 좌표이다. $\mathbf{X} = \sum \limits_{i} X^{i}\mathbf{x}_{i}$를 탄젠트 벡터라고 하자. $\boldsymbol{\gamma}(s) = \mathbf{x}(\gamma^{1}(s), \gamma^{2}(s))$라고 하자. 이제 다음과 같은 ODE 시스템의 초깃값 문제를 생각해보자.

$$\begin{align} (\gamma^{k})^{\prime \prime} =&\ -\sum_{i,j}{\Gamma_{ij}}^{k}(\gamma^{i})^{\prime} (\gamma^{j})^{\prime} \\ \gamma^{i}(s_{0}) =&\ 0 \nonumber \\ (\gamma^{i})^{\prime}(s_{0}) =&\ X^{i} \nonumber \end{align}$$

그러면 피카드 정리에 의해, $s_{0}$의 어떤 근방에서 이 ODE 시스템의 해가 유일하게 존재한다. 단위 속력 곡선 $\boldsymbol{\gamma}$가 $(1)$을 만족하는 것이 측지선일 필요충분 조건이므로, 이제 이러한 $\boldsymbol{\gamma}$가 단위 속력인지만 체크하면 된다.

$f(s) = \left| \boldsymbol{\gamma}^{\prime}(s) \right|^{2} = \sum\limits_{i,j} g_{ij}(\gamma^{i})^{\prime}(s)(\gamma^{j})^{\prime}(s)$라고 하자. $f(s) = 1$임을 보이면 증명이 끝난다. 연쇄법칙에 의해 $\dfrac{d g_{ij}}{d s} = \sum\limits_{k} \dfrac{\partial g_{ij}}{\partial u^{k}}(\gamma^{k})^{\prime}$이므로,

$$f^{\prime}(s) = \sum\limits_{i,j,k}\dfrac{\partial g_{ij}}{\partial u^{k}}(\gamma^{k})^{\prime}(\gamma^{i})^{\prime}(\gamma^{j})^{\prime} + \sum\limits_{i,j} g_{ij}(\gamma^{i})^{\prime \prime}(\gamma^{j})^{\prime} + \sum\limits_{i,j} g_{ij}(\gamma^{i})^{\prime}(\gamma^{j})^{\prime \prime}$$

이때 $\dfrac{\partial g_{ij}}{\partial u^{k}} = \dfrac{\partial \left\langle \mathbf{x}_{i}, \mathbf{x}_{j} \right\rangle}{\partial u^{k}} = \left\langle \mathbf{x}_{ik}, \mathbf{x}_{j} \right\rangle + \left\langle \mathbf{x}_{i}, \mathbf{x}_{jk} \right\rangle$이고, $\left\langle \mathbf{x}_{ik}, \mathbf{x}_{j} \right\rangle = \sum\limits_{l}{\Gamma_{ik}}^{l}g_{lj}$가 성립하므로, 첫째항에 대입하면 다음을 얻는다.

$$\begin{align*} f^{\prime}(s) =&\ \sum\limits_{i,j,k,l}g_{li}{\Gamma_{jk}}^{l}(\gamma^{k})^{\prime}(\gamma^{i})^{\prime}(\gamma^{j})^{\prime} + \sum\limits_{i,j,k,l}g_{lj}{\Gamma_{ik}}^{l}(\gamma^{k})^{\prime}(\gamma^{i})^{\prime}(\gamma^{j})^{\prime}\\ &+ \sum\limits_{i,j} g_{ij}(\gamma^{i})^{\prime \prime}(\gamma^{j})^{\prime} + \sum\limits_{i,j} g_{ij}(\gamma^{i})^{\prime}(\gamma^{j})^{\prime \prime} \end{align*}$$

세번째, 네번째 항의 더미 인덱스를 바꿔주고 정리하면 다음을 얻는다.

$$\begin{align*} f^{\prime}(s) =&\ \sum\limits_{i,j,k,l}g_{li}{\Gamma_{jk}}^{l}(\gamma^{k})^{\prime}(\gamma^{i})^{\prime}(\gamma^{j})^{\prime} + \sum\limits_{i,j,k,l}g_{lj}{\Gamma_{ik}}^{l}(\gamma^{k})^{\prime}(\gamma^{i})^{\prime}(\gamma^{j})^{\prime}\\ &+ \sum\limits_{l,i} g_{li}(\gamma^{l})^{\prime \prime}(\gamma^{i})^{\prime} + \sum\limits_{j,l} g_{jl}(\gamma^{j})^{\prime}(\gamma^{l})^{\prime \prime} \\ =&\ \sum\limits_{i,j,k,l}g_{li}\left[ (\gamma^{l})^{\prime \prime} + {\Gamma_{jk}}^{l}(\gamma^{k})^{\prime}(\gamma^{j})^{\prime} \right] (\gamma^{i})^{\prime} + \sum\limits_{i,j,k,l}g_{lj}\left[ (\gamma^{l})^{\prime \prime} + {\Gamma_{ik}}^{l}(\gamma^{k})^{\prime}(\gamma^{i})^{\prime} \right] (\gamma^{j})^{\prime} \end{align*}$$

이때 각괄호 안의 수식은, $\boldsymbol{\gamma}$가 $(1)$을 만족하므로 $0$이다. 따라서 $f^{\prime}(s) = 0$이고, $f$는 상수이다. 그런데 $\mathbf{X}$를 단위벡터라고 가정했으므로,

$$f(s_{0}) = \left| \boldsymbol{\gamma}^{\prime}(s_{0}) \right|^{2} = \left| \mathbf{X} \right|^{2} = 1$$

따라서 $f = 1$이고, $\boldsymbol{\gamma}$는 단위 속력 곡선이다.

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