📂다변수벡터해석

다변수 함수에 대한 테일러 정리

정리¹

$f : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}$를 $C^{k}$ 함수, $\mathbf{a} = (a_{1}, \dots, a_{n}) \in \mathbb{R}^{n}$라고 하자. 그러면 다음을 만족하는 $C^{k-2}$ 함수 $h_{ij}$가 존재한다.

$$f(\mathbf{x}) = f(\mathbf{a}) + \sum_{i} (x_{i} - a_{i})\dfrac{\partial f}{\partial x_{i}}(\mathbf{a}) + \sum_{i,j}h_{ij}(\mathbf{x})(x_{i} - a_{i}) (x_{j} - a_{j})$$

설명

테일러 정리를 다변수함수로 일반화한 것이다.

• second-order

  $$\begin{align*} f(\mathbf{x}) &= f(\mathbf{a}) + \sum\limits_{i=1}^{n} (x_{i} - a_{i}) \dfrac{\partial f}{\partial x_{i}}(\mathbf{a}) + \dfrac{1}{2!}\sum\limits_{i,j=1}^{n} (x_{i} - a_{i})^{2} \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}}(\mathbf{a}) + \text{Remainder} \\ &= f(\mathbf{a}) + (\mathbf{x} - \mathbf{a})^{T} \nabla f (\mathbf{a}) + \dfrac{1}{2!}(\mathbf{x} - \mathbf{a})^{T} (H(\mathbf{a})) (\mathbf{x} - \mathbf{a}) + \text{Remainder} \end{align*}$$

여기서 $\nabla f$는 $f$ 그래디언트, $H$는 $f$의 헤시안이다.

나머지 항^{remainder term}에 대해서 다음과 같은 꼴도 유용하게 쓰인다.

$$f(\mathbf{x} + \mathbf{p}) = f(\mathbf{x}) + \mathbf{p}^{T}\nabla f(\mathbf{x} + t \mathbf{p}) \quad \text{for some } t \in (0,1)$$ $$f(\mathbf{x} + \mathbf{p}) = f(\mathbf{x}) + \mathbf{p}^{T}\nabla f(\mathbf{x}) + \dfrac{1}{2!}\mathbf{p}^{T} H(\mathbf{x} + t \mathbf{p}) \mathbf{p} \quad \text{for some } t \in (0,1)$$

$$f(\mathbf{x} + \mathbf{p}) = f(\mathbf{x}) + \int_{0}^{1}\mathbf{p}^{T}\nabla f (\mathbf{x} + t\mathbf{p})dt$$

증명

$$\begin{align*} f(\mathbf{x}) - f(\mathbf{a}) =&\ \int_{0}^{1} \dfrac{d}{dt} \left[ f(t(\mathbf{x} - \mathbf{a}) + \mathbf{a}) \right]dt \\ =&\ \int_{0}^{1} \left( \sum_{i} \dfrac{\partial f}{\partial x_{i}}\left( t(\mathbf{x} - \mathbf{a}) + \mathbf{a} \right)(x_{i}-a_{i}) \right) dt & \text{by } \href{https://freshrimpsushi.github.io/posts/3134}{\text{chain rule}} \\ =&\ \sum_{i}(x_{i} - a_{i}) \int_{0}^{1} \left( \dfrac{\partial f}{\partial x_{i}}\left( t(\mathbf{x} - \mathbf{a}) + \mathbf{a} \right) \right) dt \end{align*}$$

적분부분을 $g_{i}(\mathbf{x})$라고 표기하자. $g_{i}(\mathbf{x}) = \displaystyle \int_{0}^{1} \left( \dfrac{\partial f}{\partial x_{i}}\left( t(\mathbf{x} - \mathbf{a}) + \mathbf{a} \right) \right) dt$라고 하면,

$$\begin{equation} f(\mathbf{x}) - f(\mathbf{a}) = \sum_{i}(x_{i} - a_{i}) \int_{0}^{1} \left( \dfrac{\partial f}{\partial x_{i}}\left( t(\mathbf{x} - \mathbf{a}) + \mathbf{a} \right) \right) dt = \sum_{i} g_{i}(\mathbf{x}) (x_{i} - a_{i}) \end{equation}$$

$g_{i}(\mathbf{a})$의 값은 다음과 같다.

$$g_{i}(\mathbf{a}) = \int_{0}^{1} \dfrac{\partial f}{\partial x_{i}} \left(t(\mathbf{a} - \mathbf{a}) + \mathbf{a} \right) dt = \int_{0}^{1} \dfrac{\partial f}{\partial x_{i}}\left( \mathbf{a} \right) dt = \dfrac{\partial f}{\partial x_{i}}\left( \mathbf{a} \right)$$

그러면 $(1)$을 이끌어냈던 것과 같은 방법으로 다음의 식을 얻을 수 있다.

$$g_{i}(\mathbf{x}) - g_{i}(\mathbf{a}) = \sum_{j} h_{ij}(\mathbf{x}) (x_{j}-a_{j})$$

이제 정리하면

$$\begin{align*} f(\mathbf{x}) =&\ f(\mathbf{a}) + \sum_{i}g_{i}(\mathbf{x})(x_{i}-a_{i}) \\ =&\ f(\mathbf{a}) + \sum_{i}\left( g_{i}(\mathbf{a}) + \sum_{j} h_{ij}(\mathbf{x}) (x_{j}-a_{j}) \right)(x_{i}-a_{i}) \\ =&\ f(\mathbf{a}) + \sum_{i} g_{i}(\mathbf{a})(x_{i}-a_{i}) + \sum_{i,j} h_{ij}(\mathbf{x})(x_{i}-a_{i})(x_{j}-a_{j}) \\ =&\ f(\mathbf{a}) + \sum_{i} \dfrac{\partial f}{\partial x_{i}}\left( \mathbf{a} \right)(x_{i}-a_{i}) + \sum_{i,j} h_{ij}(\mathbf{x})(x_{i}-a_{i})(x_{j}-a_{j}) \end{align*}$$

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같이보기

• 테일러 정리