📂다변수벡터해석

해석학에서 역함수 정리

정리¹

열린 집합 $E$에서 정의된 함수 $\mathbf{f} : E \subset \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{n}$이 $C^{1}$-함수라고 하자. $\mathbf{a} \in E$에 대해서, $\mathbf{f}^{\prime}(\mathbf{a})$가 가역이고 $\mathbf{b} = \mathbf{f}(\mathbf{a})$라고 하자. 그러면 다음이 성립한다.

(a) $\mathbf{a} \in U, \mathbf{b} \in V$이고, $U$위에서 $\mathbf{f}$가 일대일이며 $\mathbf{f}(U) = V$인 열린 집합 $U, V \subset \mathbb{R}^{n}$가 존재한다.

(b) 만약 $\mathbf{g}$가 $\mathbf{f}$의 역함수이고^{(a)에 의해 존재성은 보장된다},

$$ \mathbf{g}\left( \mathbf{f}(\mathbf{\mathbf{x}}) \right) = \mathbf{x},\quad \mathbf{x}\in U $$

와 같으면, $\mathbf{g} \in C^{1}(V)$이다.

설명

정의역과 공역의 차원이 $n$으로 같은 것이 핵심이다.

(a): 전단사 축소사상 $\mathbf{f}|_{U}$가 존재한다는 말이다.

같이보기

• 복소해석에서 역함수 정리