📂편미분방정식

미분방정식의 기본해, 그린 함수

정의

비동차 항이 $f$인 비동차 미분방정식의 해 $u$가 $\Phi$와 $f$에 관한 함수로 표현되면 $\Phi$를 미분 방정식의 기본해^{fundamental solution}라고 한다.

$$ u = u\left( \Phi, f \right) $$

설명

엄밀한 정의는 아님에 주의하자.

그린 함수^{Green’s function}라고도 한다. 둘 다 같은 개념을 지칭하는 말이지만, 그린 함수라고 할 때는 경계 조건이 주어진 경우를 의미할 때가 많다. 이때 1차원을 예로 들어 초기 조건 $y(a) = 0 = y^{\prime}(a)$이 주어진 초기값 문제에서의 경우 (경계조건이 한 쪽으로 주어진것과 같이 볼 수 있으므로) one-sided Green’s function이라고 한다. 경계 조건 $y(a) = 0 = y(b)$이 주어진 경계값 문제에서의 경우에는 그린 함수라고 한다.^{1 2}

보통의 경우, 아래의 예시에서 나타나듯, 비동차항이 디랙 델타 함수 $\delta$일 때의 해를 기본해라고 한다. 다시말해 미분 연산자 $L$에 대해서 아래의 식

$$ L\Phi = \delta $$

를 만족시키는 $\Phi$를 미분 방정식 $Lu = f$의 기본해라고 부르는 것이다. 이러면 미분방정식의 솔루션은

$$ u(x) = \Phi \ast f (x) $$

와 같이 표현된다. 여기서 $\ast$는 컨볼루션이다.

라플라스 방정식

라플라스 방정식 $-\Delta \Phi = \delta$의 해를 라플라스 방정식의 기본해라고 하며 다음과 같이 정의된다.

$$ \Phi (x) := \begin{cases} -\dfrac{1}{2\pi}\log |x| & n=2 \\ \dfrac{1}{n(n-2)\alpha (n)} \dfrac{1}{|x|^{n-2}} & n \ge 3 \end{cases} $$

그러면 임의의 비동차 라플라스 방정식 $-\Delta u = f$의 해는 다음과 같은 꼴로 표현된다.

$$ u(x) = \Phi \ast f (x) = \int \Phi (x-y)f(y) dy $$

이것이 실제로 해가 된다는 것은 다음과 같이 보일 수 있다.

$$ \begin{align*} -\Delta u(x) =&\ - \Delta \Phi \ast f (x) = - \Delta \int \Phi (x-y)f(y) dy \\ =&\ \int - \Delta \Phi (x-y)f(y) dy \\ =&\ \int \delta (x-y)f(y) dy \\ =&\ f(x) \end{align*} $$

엄청 쉽게 되는 것 같지만 사실은 $x=0$에서 $\Phi$가 발산하기 때문에 엄밀한 증명이 필요하다.

헬름홀츠 방정식

헬름홀츠 방정식 $-(\Delta + k^{2} )\Phi = \delta$의 해를 헬름홀츠 방정식의 기본해라고 한다. 그러면 임의의 비동차 헬름홀츠 방정식

$$ -(\Delta + k^{2} )u = f $$

의 해는 다음과 같다.

$$ u(x) = \Phi \ast f (x) = \int \Phi (x-y)f(y) dy $$

다음의 과정으로 실제로 해가 됨을 알 수 있다.

$$ \begin{align*} -(\Delta + k^{2}) u(x) =&\ -(\Delta + k^{2}) \Phi \ast f (x) = -(\Delta + k^{2}) \int \Phi (x-y)f(y) dy \\ =&\ \int -(\Delta + k^{2}) \Phi (x-y)f(y) dy \\ =&\ \int \delta (x-y)f(y) dy \\ =&\ f(x) \end{align*} $$