📂미분적분학

곡선의 길이

평면 곡선의 길이¹

빌드업

위 그림 (a)와 같이 매끄러운 함수 $y=f(x)$가 주어져있고, 이 위에 $n+1$개의 점이 있다고 하자. 곡선의 총 길이 $s$는 점으로 나뉘어진 각 호의 길이 $s_{k}$를 모두 더하여 얻을 수 있다. 또한 각 호의 길이는 그림 (b)와 같이 두 점 사이의 길이로 근사할 수 있다. 점들이 점점 많아질 수록 이 근사된 길이의 합은 점점 실제 길이 $L$에 가까워질 것이다. 따라서 다음의 식을 얻는다.

$$ L = \lim \limits_{n \to \infty} \sum \limits_{i=1}^{n} \left| P_{i-1}P_{i} \right| $$

이때 각 성분의 길이는 피타고라스의 정리에 의해 다음과 같다.

$$ \left| P_{i-1}P_{i} \right| = \sqrt{(x_{i} - x_{i-1})^{2} + (y_{i} - y_{i-1})^{2}} = \left( \Delta x_{i} \right)^{2} + \left( \Delta y_{i} \right)^{2} $$

또한 평균값 정리에 의해 다음의 식이 성립하는 $x_{i}^{\ast} \in (x_{i-1}, x_{i})$가 존재함을 알 수 있다.

$$ \begin{align*} f(x_{i}) - f(x_{i-1}) =&\ f^{\prime} (x_{i}^{\ast}) \left( x_{i} - x_{i-1} \right) \\ \Delta y_{i} =&\ f^{\prime} (x_{i}^{\ast}) \Delta x_{i} \end{align*} $$

따라서 각 선분의 길이는 다음과 같다.

$$ \begin{align*} \left| P_{i-1}P_{i} \right| =&\ \left( \Delta x_{i} \right)^{2} + \left( \Delta y_{i} \right)^{2} \\ =&\ \left( \Delta x_{i} \right)^{2} + \left[ f^{\prime} (x_{i}^{\ast}) \right]^{2} \left( \Delta x_{i} \right)^{2} \\ =&\ \sqrt{1 + \left[ f^{\prime} (x_{i}^{\ast}) \right]^{2}} \Delta x_{i} \end{align*} $$

그러면 곡선의 길이 $L$은 다음과 같다.

$$ L = \lim \limits_{n \to \infty} \sum \limits_{i=1}^{n} \left| P_{i-1}P_{i} \right| = \lim \limits_{n \to \infty} \sum \limits_{i=1}^{n} \sqrt{1 + \left[ f^{\prime} (x_{i}^{\ast}) \right]^{2}} \Delta x_{i} $$

이때 $\sqrt{1 + \left[ f^{\prime} (x) \right]^{2}}$가 연속이므로 리만합의 극한이 존재하고, 적분가능하다. 따라서 곡선의 길이를 다음과 같이 정의한다.

정의

$f^{\prime}$가 $[a,b]$에서 연속이면($f$가 매끄러운 함수이면), 곡선 $y=f(x)$의 길이 $L$을 다음과 같이 정의한다.

$$ L := \int_{a}^{b} \sqrt{1 + \left[ f^{\prime} (x) \right]^{2}} dx = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + \left( \dfrac{d y}{d x} \right)^{2}} dx $$

이로부터 자연스럽게 시점 $P_{0}(a, f(a))$에서부터 점 $Q(x,f(x))$까지의 곡선의 길이를 나타내는 함수를 호의 길이 함수^{arc length function}를 다음과 같이 정의한다.

$$ s(x) = \int_{a}^{x} \sqrt{1 + \left[ f^{\prime} (t) \right]^{2}} dt $$

따라서 $\dfrac{d s}{d x} = \sqrt{1 + [f^{\prime}(x)]^{2}} = \sqrt{1 + \left( \dfrac{d y}{d x} \right)^{2}}$가 성립하고, 곡선의 길이를 다음과 같이 표기할 수 있다.

$$ L = \int_{C} ds = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + \left( \dfrac{d y}{d x} \right)^{2}} dx $$

정리

곡선 $C$가 매개변수 방정식 $x = f(t), y=g(t), \alpha \le t \le \beta$로 표현된다고 하자. $f^{\prime}, g^{\prime}$가 $[\alpha, \beta]$에서 연속이면($f, g$가 매끄러운 함수이면) 곡선 $C$의 길이는 다음과 같다.

$$ L = \int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{\left( \dfrac{d x}{d t} \right)^{2} + \left( \dfrac{d y}{d t} \right)^{2}} dt $$

증명

$a = x(\alpha), b = x(\beta)$라고 하자. 가정에 의해 $\dfrac{d y}{d x} = \dfrac{\dfrac{d y}{d t}}{\dfrac{d x}{d t}}$가 성립한다. 따라서

$$ L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + \left( \dfrac{d y}{d x} \right)^{2}} dx = \int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{1 + \left(\dfrac{\dfrac{d y}{d t}}{\dfrac{d x}{d t}} \right)^{2}} \dfrac{d x}{d t} dt = \int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{\left(\dfrac{d x}{d t}\right)^{2} + \left(\dfrac{d y}{d t}\right)^{2}}dt $$

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공간 곡선의 길이²

위에서 빌드업한 것과 마찬가지로, 3차원 공간에 놓인 곡선이 $\mathbf{r}(t) = \left( f(t), g(t), h(t) \right)$와 같이 표현될 때 곡선의 길이는 다음과 같이 정의된다.

$$ \begin{align*} L =&\ \int_{a}^{b} \sqrt{\left[ f^{\prime}(t) \right]^{2} + \left[ g^{\prime}(t) \right]^{2} + \left[ h^{\prime}(t) \right]^{2}} dt \\ =&\ \int_{a}^{b} \sqrt{ \left( \dfrac{d x}{d t} \right)^{2} + \left( \dfrac{d y}{d t} \right)^{2} + \left( \dfrac{d z}{d t} \right)^{2} } dt \\ =&\ \int_{a}^{b} \left| \mathbf{r}^{\prime}(t) \right| dt \end{align*} $$

마찬가지로 호의 길이 함수는 다음과 같다.

$$ s(t) = \int_{a}^{t} \left| \mathbf{r}^{\prime}(u) \right| du = \int_{a}^{t} \sqrt{ \left( \dfrac{d x}{d u} \right)^{2} + \left( \dfrac{d y}{d u} \right)^{2} + \left( \dfrac{d z}{d u} \right)^{2} } du $$