곡선의 길이
📂미분적분학 곡선의 길이 평면 곡선의 길이 빌드업
위 그림 (a)와 같이 매끄러운 함수 y = f ( x ) y=f(x) y = f ( x ) n + 1 n+1 n + 1 s s s s k s_{k} s k L L L
L = lim n → ∞ ∑ i = 1 n ∣ P i − 1 P i ∣
L = \lim \limits_{n \to \infty} \sum \limits_{i=1}^{n} \left| P_{i-1}P_{i} \right|
L = n → ∞ lim i = 1 ∑ n ∣ P i − 1 P i ∣
이때 각 성분의 길이는 피타고라스의 정리에 의해 다음과 같다.
∣ P i − 1 P i ∣ = ( x i − x i − 1 ) 2 + ( y i − y i − 1 ) 2 = ( Δ x i ) 2 + ( Δ y i ) 2
\left| P_{i-1}P_{i} \right| = \sqrt{(x_{i} - x_{i-1})^{2} + (y_{i} - y_{i-1})^{2}} = \left( \Delta x_{i} \right)^{2} + \left( \Delta y_{i} \right)^{2}
∣ P i − 1 P i ∣ = ( x i − x i − 1 ) 2 + ( y i − y i − 1 ) 2 = ( Δ x i ) 2 + ( Δ y i ) 2
또한 평균값 정리 에 의해 다음의 식이 성립하는 x i ∗ ∈ ( x i − 1 , x i ) x_{i}^{\ast} \in (x_{i-1}, x_{i}) x i ∗ ∈ ( x i − 1 , x i )
f ( x i ) − f ( x i − 1 ) = f ′ ( x i ∗ ) ( x i − x i − 1 ) Δ y i = f ′ ( x i ∗ ) Δ x i
\begin{align*}
f(x_{i}) - f(x_{i-1}) =&\ f^{\prime} (x_{i}^{\ast}) \left( x_{i} - x_{i-1} \right)
\\ \Delta y_{i} =&\ f^{\prime} (x_{i}^{\ast}) \Delta x_{i}
\end{align*}
f ( x i ) − f ( x i − 1 ) = Δ y i = f ′ ( x i ∗ ) ( x i − x i − 1 ) f ′ ( x i ∗ ) Δ x i
따라서 각 선분의 길이는 다음과 같다.
∣ P i − 1 P i ∣ = ( Δ x i ) 2 + ( Δ y i ) 2 = ( Δ x i ) 2 + [ f ′ ( x i ∗ ) ] 2 ( Δ x i ) 2 = 1 + [ f ′ ( x i ∗ ) ] 2 Δ x i
\begin{align*}
\left| P_{i-1}P_{i} \right| =&\ \left( \Delta x_{i} \right)^{2} + \left( \Delta y_{i} \right)^{2}
\\ =&\ \left( \Delta x_{i} \right)^{2} + \left[ f^{\prime} (x_{i}^{\ast}) \right]^{2} \left( \Delta x_{i} \right)^{2}
\\ =&\ \sqrt{1 + \left[ f^{\prime} (x_{i}^{\ast}) \right]^{2}} \Delta x_{i}
\end{align*}
∣ P i − 1 P i ∣ = = = ( Δ x i ) 2 + ( Δ y i ) 2 ( Δ x i ) 2 + [ f ′ ( x i ∗ ) ] 2 ( Δ x i ) 2 1 + [ f ′ ( x i ∗ ) ] 2 Δ x i
그러면 곡선의 길이 L L L
L = lim n → ∞ ∑ i = 1 n ∣ P i − 1 P i ∣ = lim n → ∞ ∑ i = 1 n 1 + [ f ′ ( x i ∗ ) ] 2 Δ x i
L = \lim \limits_{n \to \infty} \sum \limits_{i=1}^{n} \left| P_{i-1}P_{i} \right| = \lim \limits_{n \to \infty} \sum \limits_{i=1}^{n} \sqrt{1 + \left[ f^{\prime} (x_{i}^{\ast}) \right]^{2}} \Delta x_{i}
L = n → ∞ lim i = 1 ∑ n ∣ P i − 1 P i ∣ = n → ∞ lim i = 1 ∑ n 1 + [ f ′ ( x i ∗ ) ] 2 Δ x i
이때 1 + [ f ′ ( x ) ] 2 \sqrt{1 + \left[ f^{\prime} (x) \right]^{2}} 1 + [ f ′ ( x ) ] 2
정의 f ′ f^{\prime} f ′ [ a , b ] [a,b] [ a , b ] f f f 매끄러운 함수 이면), 곡선 y = f ( x ) y=f(x) y = f ( x ) L L L
L : = ∫ a b 1 + [ f ′ ( x ) ] 2 d x = ∫ a b 1 + ( d y d x ) 2 d x
L := \int_{a}^{b} \sqrt{1 + \left[ f^{\prime} (x) \right]^{2}} dx = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + \left( \dfrac{d y}{d x} \right)^{2}} dx
L := ∫ a b 1 + [ f ′ ( x ) ] 2 d x = ∫ a b 1 + ( d x d y ) 2 d x
이로부터 자연스럽게 시점 P 0 ( a , f ( a ) ) P_{0}(a, f(a)) P 0 ( a , f ( a )) Q ( x , f ( x ) ) Q(x,f(x)) Q ( x , f ( x )) 호의 길이 함수 arc length function 를 다음과 같이 정의한다.
s ( x ) = ∫ a x 1 + [ f ′ ( t ) ] 2 d t
s(x) = \int_{a}^{x} \sqrt{1 + \left[ f^{\prime} (t) \right]^{2}} dt
s ( x ) = ∫ a x 1 + [ f ′ ( t ) ] 2 d t
따라서 d s d x = 1 + [ f ′ ( x ) ] 2 = 1 + ( d y d x ) 2 \dfrac{d s}{d x} = \sqrt{1 + [f^{\prime}(x)]^{2}} = \sqrt{1 + \left( \dfrac{d y}{d x} \right)^{2}} d x d s = 1 + [ f ′ ( x ) ] 2 = 1 + ( d x d y ) 2
L = ∫ C d s = ∫ a b 1 + ( d y d x ) 2 d x
L = \int_{C} ds = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + \left( \dfrac{d y}{d x} \right)^{2}} dx
L = ∫ C d s = ∫ a b 1 + ( d x d y ) 2 d x
정리 곡선 C C C x = f ( t ) , y = g ( t ) , α ≤ t ≤ β x = f(t), y=g(t), \alpha \le t \le \beta x = f ( t ) , y = g ( t ) , α ≤ t ≤ β f ′ , g ′ f^{\prime}, g^{\prime} f ′ , g ′ [ α , β ] [\alpha, \beta] [ α , β ] f , g f, g f , g 매끄러운 함수이면) 곡선 C C C
L = ∫ α β ( d x d t ) 2 + ( d y d t ) 2 d t
L = \int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{\left( \dfrac{d x}{d t} \right)^{2} + \left( \dfrac{d y}{d t} \right)^{2}} dt
L = ∫ α β ( d t d x ) 2 + ( d t d y ) 2 d t
증명 a = x ( α ) , b = x ( β ) a = x(\alpha), b = x(\beta) a = x ( α ) , b = x ( β ) d y d x = d y d t d x d t \dfrac{d y}{d x} = \dfrac{\dfrac{d y}{d t}}{\dfrac{d x}{d t}} d x d y = d t d x d t d y
L = ∫ a b 1 + ( d y d x ) 2 d x = ∫ α β 1 + ( d y d t d x d t ) 2 d x d t d t = ∫ α β ( d x d t ) 2 + ( d y d t ) 2 d t
L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + \left( \dfrac{d y}{d x} \right)^{2}} dx = \int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{1 + \left(\dfrac{\dfrac{d y}{d t}}{\dfrac{d x}{d t}} \right)^{2}} \dfrac{d x}{d t} dt = \int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{\left(\dfrac{d x}{d t}\right)^{2} + \left(\dfrac{d y}{d t}\right)^{2}}dt
L = ∫ a b 1 + ( d x d y ) 2 d x = ∫ α β 1 + d t d x d t d y 2 d t d x d t = ∫ α β ( d t d x ) 2 + ( d t d y ) 2 d t
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공간 곡선의 길이 위에서 빌드업한 것과 마찬가지로, 3차원 공간에 놓인 곡선이 r ( t ) = ( f ( t ) , g ( t ) , h ( t ) ) \mathbf{r}(t) = \left( f(t), g(t), h(t) \right) r ( t ) = ( f ( t ) , g ( t ) , h ( t ) )
L = ∫ a b [ f ′ ( t ) ] 2 + [ g ′ ( t ) ] 2 + [ h ′ ( t ) ] 2 d t = ∫ a b ( d x d t ) 2 + ( d y d t ) 2 + ( d z d t ) 2 d t = ∫ a b ∣ r ′ ( t ) ∣ d t
\begin{align*}
L =&\ \int_{a}^{b} \sqrt{\left[ f^{\prime}(t) \right]^{2} + \left[ g^{\prime}(t) \right]^{2} + \left[ h^{\prime}(t) \right]^{2}} dt
\\ =&\ \int_{a}^{b} \sqrt{ \left( \dfrac{d x}{d t} \right)^{2} + \left( \dfrac{d y}{d t} \right)^{2} + \left( \dfrac{d z}{d t} \right)^{2} } dt
\\ =&\ \int_{a}^{b} \left| \mathbf{r}^{\prime}(t) \right| dt
\end{align*}
L = = = ∫ a b [ f ′ ( t ) ] 2 + [ g ′ ( t ) ] 2 + [ h ′ ( t ) ] 2 d t ∫ a b ( d t d x ) 2 + ( d t d y ) 2 + ( d t d z ) 2 d t ∫ a b ∣ r ′ ( t ) ∣ d t
마찬가지로 호의 길이 함수는 다음과 같다.
s ( t ) = ∫ a t ∣ r ′ ( u ) ∣ d u = ∫ a t ( d x d u ) 2 + ( d y d u ) 2 + ( d z d u ) 2 d u
s(t) = \int_{a}^{t} \left| \mathbf{r}^{\prime}(u) \right| du = \int_{a}^{t} \sqrt{ \left( \dfrac{d x}{d u} \right)^{2} + \left( \dfrac{d y}{d u} \right)^{2} + \left( \dfrac{d z}{d u} \right)^{2} } du
s ( t ) = ∫ a t ∣ r ′ ( u ) ∣ d u = ∫ a t ( d u d x ) 2 + ( d u d y ) 2 + ( d u d z ) 2 d u
