📂행렬대수

회전변환

2차원

2차원 평면 $\mathbb{R}^{2}$에서 벡터를 반시계반향으로 $\theta$만큼 회전시키는 변환은 다음과 같다.

$$ \begin{pmatrix} x^{\prime} \\ y^{\prime} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} $$

유도

$x = r \cos \phi$, $y = r \sin \phi$라고 하자. $(x^{\prime}, y^{\prime})$을 점 $(x, y)$를 $\theta$만큼 회전시켰을 때의 점이라 하자. 삼각함수의 덧셈정리에 의해 $x^{\prime}, y^{\prime}$은 각각 다음과 같다.

$$ \begin{align*} x^{\prime} &= r \cos(\phi + \theta) \\ &= r\cos\phi \cos\theta - r\sin\phi \sin\theta \\ &= x \cos\theta - y \sin\theta \\ \end{align*} $$

$$ \begin{align*} y^{\prime} &= r \sin(\phi + \theta) \\ &= r\sin\phi \cos\theta + r\cos\phi \sin\theta \\ &= y \cos\theta + x \sin\theta \\ &= x \sin\theta + y \cos\theta \end{align*} $$

행렬로 나타내면 다음과 같다.

$$ \begin{pmatrix} x^{\prime} \\ y^{\prime} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} $$

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