회전변환, 회전행렬
정의
2차원 평면 $\mathbb{R}^{2}$에서 임의의 벡터를 반시계반향으로 $\theta$만큼 회전시키는 변환은 다음과 같다.
$$ \begin{bmatrix} x^{\prime} \\ y^{\prime} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} $$
설명
행렬 $\begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}$를 회전 행렬rotation matrix 혹은 회전 변환rotation transformation 이라 한다.
유도
$x = r \cos \phi$, $y = r \sin \phi$라고 하자. $(x^{\prime}, y^{\prime})$을 점 $(x, y)$를 $\theta$만큼 회전시켰을 때의 점이라 하자. 삼각함수의 덧셈정리에 의해 $x^{\prime}, y^{\prime}$은 각각 다음과 같다.
$$ \begin{align*} x^{\prime} &= r \cos(\phi + \theta) \\ &= r\cos\phi \cos\theta - r\sin\phi \sin\theta \\ &= x \cos\theta - y \sin\theta \\ \end{align*} $$
$$ \begin{align*} y^{\prime} &= r \sin(\phi + \theta) \\ &= r\sin\phi \cos\theta + r\cos\phi \sin\theta \\ &= y \cos\theta + x \sin\theta \\ &= x \sin\theta + y \cos\theta \end{align*} $$
$$ \implies \begin{cases} x^{\prime} = x \cos\theta - y \sin\theta \\ y^{\prime} = y \cos\theta + x \sin\theta \end{cases} $$
이 연립 방정식을 행렬로 나타내면 다음과 같다.
$$ \begin{bmatrix} x^{\prime} \\ y^{\prime} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} $$
■