📂행렬대수

회전변환

2차원

2차원 평면 $\mathbb{R}^{2}$에서 벡터를 반시계반향으로 $\theta$만큼 회전시키는 변환은 다음과 같다.

$$ \begin{pmatrix} x^{\prime} \\ y^{\prime} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} $$

유도

삼각함수의 덧셈정리에 의해 $x^{\prime}, y^{\prime}$은 각각 다음과 같다.

$$ \begin{align*} x^{\prime} =&\ \dfrac{1}{r} \cos(\phi + \theta) \\ =&\ \dfrac{\cos \phi}{r} \cos \theta - \dfrac{\sin \phi}{r} \sin \theta \\ =&\ x \cos \theta - y \sin \theta \end{align*} $$

$$ \begin{align*} y^{\prime} =&\ \dfrac{1}{r} \sin(\phi + \theta) \\ =&\ \dfrac{\cos \phi}{r} \cos \theta - \dfrac{\sin \phi}{r} \sin \theta \\ =&\ x \cos \theta - y \sin \theta \end{align*} $$

행렬로 나타내면 다음과 같다.

$$ \begin{pmatrix} x^{\prime} \\ y^{\prime} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} $$

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