📂선형대수

가역선형변환 공간의 성질

정리¹

$\Omega$를 모든 $\mathbb{R}^{n}$ 위의 가역 선형변환들의 집합이라고 하자.

$$ \Omega = \left\{ \text{all invertible linear operator on } \mathbb{R}^{n} \right\} $$

• (a) $T_{1} \in \Omega$와 $T_{2} \in L(\mathbb{R}^{n})$에 대해서 다음이 성립하면, $T_{2} \in \Omega$이다.

  $$ \| T_{2} - T_{1} \| \| T_{1}^{-1} \| < 1 $$

  여기서 $\| T \|$는 선형변환의 놈이다.

• (b) $h \gt 0$에 대해서 다음이 성립한다. $$ \| T^{-1} \| \le \dfrac{1}{h} \iff \| T \mathbf{x} \| \ge h | \mathbf{x} |\quad \forall \mathbf{x} $$

• (c) $\Omega$는 열린 집합이다.

• (d) 다음과 같이 주어진 $f : \Omega \to \Omega$는 연속이다.

  $$ f( T ) = T^{-1} $$

증명

(a)

$T_{1} \in \Omega$와 $T_{2} \in L(\mathbb{R}^{n})$에 대해서 다음이 성립한다고 하자.

$$ \| T_{2} - T_{1} \| \| T_{1}^{-1} \| < 1 $$

그리고 $\| T_{1}^{-1} \| = \dfrac{1}{\alpha}, \| T_{2} - T_{1} \| = \beta$라고 두자. 그러면 가정에 의해 $\beta < \alpha$이다. 선형변환의 놈의 성질에 의해, 모든 $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^{n}$에 대해서 다음이 성립한다.

$$ \begin{align*} \alpha | \mathbf{x} | &= \alpha | T_{1}^{-1}( T_{1} ( \mathbf{x})) | \\ &\le \alpha \| T_{1}^{-1} \| | T_{1} (\mathbf{x}) | \\ &= \alpha \dfrac{1}{\alpha} | T_{1} (\mathbf{x}) | = | T_{1} (\mathbf{x}) | \\ &= | T_{1} (\mathbf{x}) - T_{2}(\mathbf{x}) + T_{2}(\mathbf{x}) | \\ &\le | T_{1} (\mathbf{x}) - T_{2}(\mathbf{x}) | + | T_{2}(\mathbf{x}) | \\ &\le \| T_{1} - T_{2} \| |\mathbf{x}| + | T_{2}(\mathbf{x}) | \\ &= \beta |\mathbf{x}| + | T_{2}(\mathbf{x}) | \end{align*} $$

따라서 다음을 얻는다.

$$ \begin{equation} (\alpha - \beta) | \mathbf{x} | \le | T_{2} ( \mathbf{x} ) |,\quad \forall \mathbf{x}\in \mathbb{R}^{n} \end{equation} $$

이때 $\alpha - \beta > 0$이므로 다음이 성립한다.

$$ \mathbf{x} \ne \mathbf{0} \implies T_{2}(\mathbf{x}) \ne \mathbf{0} $$

이는 선형변환이 일대일일 동치조건이므로 $T_{2}$는 일대일이고, 따라서 가역변환이다.

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$$ \| T^{-1} \| \le \dfrac{1}{h} \iff \| T \mathbf{x} \| \ge h | \mathbf{x} |\quad \forall \mathbf{x} $$

(b)

• $(\Longrightarrow)$

  $\| T^{-1} \| \le \dfrac{1}{h}$라고 하자. 그러면,

  $$ \begin{align*} && \| T^{-1} \| &\le \dfrac{1}{h} \\ \implies && h \| T^{-1} \| &\le 1 \\ \implies && h \| T^{-1} \| | T \mathbf{x} | &\le | T \mathbf{x} | \\ \implies && h |T^{-1} T \mathbf{x} | \le h \| T^{-1} \| | T \mathbf{x} | &\le | T \mathbf{x} | \\ \implies && h | \mathbf{x} | &\le | T \mathbf{x} | \\ \end{align*} $$

• $(\Longleftarrow)$

  $$ \begin{align*} && | T \mathbf{x} | &\ge h | \mathbf{x} | \\ && \| T \| | T \mathbf{x} | &\ge h | \mathbf{x} | \\ \implies && \| T^{-1} \| | T \mathbf{x} | &\ge h \| T^{-1} \| | \mathbf{x} | \\ \implies && \| T^{-1} \| | T \mathbf{x} | &\ge h \| T^{-1} \| | \mathbf{x} | \\ \end{align*} $$

(c)

(a) 에 의해, 다음을 만족하는 모든 $T_{2} \in L(\mathbb{R}^{n})$은 $T_{2} \in \Omega$이다.

$$ d(T_{1}, T_{2}) = \| T_{1} - T_{2} \| < \alpha $$

그러면 모든 $T_{1} \in \Omega$는 $\Omega$의 부분집합이 되는 근방을 가지므로 내점이다. $\Omega$의 모든 원소가 내점이므로 $\Omega$는 열린 집합이다.

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(d)

합성을 간단히 다음과 같이 표기하자.

$$ T_{2} \circ T_{1} = T_{2}T_{1} $$

$(1)$에서 $\mathbf{x} = T_{2}^{-1}(\mathbf{y})$로 치환하자.

$$ \begin{align*} && (\alpha - \beta) | T_{2}^{-1}(\mathbf{y})| &\le | T_{2} ( T_{2}^{-1}(\mathbf{y}) ) | = | \mathbf{y} |,\quad \forall \mathbf{y}\in \mathbb{R}^{n} \\ \implies && | T_{2}^{-1}(\mathbf{y})| &\le \dfrac{1}{\alpha - \beta}|\mathbf{y}| \end{align*} $$

그러면 선형변환의 놈의 성질에 의해서 다음이 성립한다.

$$ \| T_{2} ^{-1} \| \le \dfrac{1}{\alpha - \beta} $$

또한 다음이 성립한다.

$$ T_{2}^{-1} - T_{1}^{-1} = T_{2}^{-1}( T_{1} - T_{2} ) T_{1}^{-1} $$

그러면 곱의 놈보다 놈의 곱이 크므로 다음이 성립한다.

$$ \| T_{2}^{-1} - T_{1}^{-1} \| \le \| T_{2}^{-1} \| \| T_{1} - T_{2} \| \| T_{1}^{-1}\| \le \dfrac{\beta }{\alpha (\alpha-\beta)} $$

그러면 $d(T_{1}, T_{2}) = \|T_{2} - T_{1} \| =\beta \to 0$일 때, $d(T_{1}^{-1}, T_{2}^{-1})=\|T_{2}^{-1} - T_{1}^{-1}\| \to 0$이므로 $T \mapsto T^{-1}$인 사상은 연속이다.

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