선형변환의 합성
정의1
선형변환 $T_{1} : V \to W$과 $T_{2} : W \to Z$가 주어졌다고 하자. 그러면 다음과 같이 정의되는 변환 $T_{2} T_{1}$을 $T_{1}$과 $T_{2}$의 합성composition of $T_{2}$ with $T_{1}$이라 한다.
$$ (T_{2} \circ T_{1})(\mathbf{x}) = T_{2}\left( T_{1}(\mathbf{x}) \right) \quad \mathbf{x} \in V $$
설명
선형변환의 합성은 기호를 생략하여 다음과 같이 나타내는 경우가 많다.
$$ T_{2}T_{1}\mathbf{x} = (T_{2} \circ T_{1}) (\mathbf{x}) $$
유한차원에서 보면 이는 행렬곱과 본질적으로 같으므로 자연스러운 표기법이다.
성질1 2
두 선형변환 $T_{1} : V \to W$과 $T_{2} : W \to Z$가 주어졌다고 하자.
(a) $T_{1}$과 $T_{2}$의 합성 $T_{2} T_{1}$도 선형변환이다.
(b) $T, U_{1}, U_{2} \in \href{../3283}{L(V)}$와 $a \in \mathbb{R}$에 대해서 다음이 성립한다.
$$ T(U_{1} + U_{2}) = TU_{1} + TU_{2} \quad \text{and} \quad (U_{1} + U_{2})T = U_{1}T + U_{2}T \\[0.5em] T(U_{1}U_{2}) = (T_{1})U_{2} \\[0.5em] TI = IT = T \\[0.5em] a(U_{1}U_{2}) = (aU_{1})U_{2} = U_{1}(aU_{2}) $$
$T_{1}, T_{2}$가 일대일이면 다음이 성립한다.
(c) $T_{2} T_{1}$가 일대일이다.
(d) $(T_{2} T_{1})^{-1} = T_{1}^{-1} T_{2}^{-1}$
(e) $V, W, Z$를 유한차원 벡터공간, $\alpha, \beta, \gamma$를 각각의 순서기저라고 하자. 그리고 $T : V \to W$, $U : W \to Z$를 선형변환이라고 하자. 그러면,
$$ [UT]_{\alpha}^{\gamma} = [U]_{\beta}^{\gamma}[T]_{\alpha}^{\beta} $$
$[T]_{\alpha}^{\beta}$는 $T$의 행렬표현이다.
증명
(a)
$\mathbf{x}_{1}, \mathbf{x}_{2} \in V$이고 $k$를 임의의 상수라고 하자. 그러면 $T_{1}, T_{2}$가 선형이므로 다음이 성립한다.
$$ \begin{align*} (T_{2} T_{1})(\mathbf{x}_{1} + k \mathbf{x}_{2}) &= T_{2} \left( T_{1} \left( \mathbf{x}_{1} + k \mathbf{x}_{2} \right) \right) \\ &= T_{2} \left( T_{1} ( \mathbf{x}_{1} ) + k T_{1} ( \mathbf{x}_{2} ) \right) \\ &= T_{2} \left( T_{1} ( \mathbf{x}_{1} ) \right) + k T_{2}\left( T_{1} ( \mathbf{x}_{2} ) \right) \\ &= (T_{2} T_{1}) ( \mathbf{x}_{1} ) + k (T_{2} T_{1})( \mathbf{x}_{2} ) \end{align*} $$
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(c)
$\mathbf{x}_{1}$과 $\mathbf{x}_{2}$가 $V$의 서로 다른 벡터라고 하자. $T_{1}$이 일대일이므로 $T_{1}(\mathbf{x}_{1})$과 $T_{1}(\mathbf{x}_{2})$는 서로 다른 벡터이다. 그러면 $T_{2}$도 일대일이므로 다음의 두 벡터도 서로 다르다.
$$ (T_{2} T_{1})(\mathbf{x}_{1}) = T_{2} \left( T_{1}(\mathbf{x}_{1}) \right) \quad \text{and} \quad (T_{2} T_{1})(\mathbf{x}_{2}) = T_{2} \left( T_{1}(\mathbf{x}_{2}) \right) $$
따라서 $T_{2} T_{1}$는 일대일이다.
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(d)
$\mathbf{z}$가 $T_{2} T_{1}$에 의한 $\mathbf{x} \in V$의 상이라고 하자.
$$ \mathbf{z} = (T_{2} T_{1}) ( \mathbf{x} ) = T_{2} ( T_{1} (\mathbf{x})) $$
양변에 $T_{2}^{-1}$를 취하면 다음과 같다.
$$ T_{2}^{-1}(\mathbf{z}) = ( T_{2}^{-1} T_{2} T_{1}) ( \mathbf{x} ) = T_{1} (\mathbf{x}) $$
양변에 $T_{1}^{-1}$를 취하면 다음과 같다.
$$ ( T_{1}^{-1} T_{2}^{-1} )(\mathbf{z}) = ( T_{1}^{-1} T_{1} ) ( \mathbf{x} ) = \mathbf{x} $$
따라서 다음을 얻는다.
$$ (T_{1}^{-1} T_{2}^{-1}) ( (T_{2} T_{1} )(\mathbf{x}) ) = \mathbf{x} $$
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