기체운동론으로 유도되는 이상기체방정식
📂열물리학 기체운동론으로 유도되는 이상기체방정식 정의 면적 M M M p p p M M M F F F M M M
p : = F M [ N / m 2 ]
p:=\frac{F}{M} \left[ \mathrm{N/m^{2}} \right]
p := M F [ N/ m 2 ]
공식 기체의 부피를 V V V 온도 를 T T T N N N p p p
p V = N k B T
p V = N k_{B}T
p V = N k B T
이때 k B = 1.3807 × 1 0 − 23 J / K k_{B} = 1.3807 \times 10^{-23} J / K k B = 1.3807 × 1 0 − 23 J / K 볼츠만 상수 Boltzmann constant 이다.
설명 위 식은 이상기체 방정식 라고 불린다. 처음에는 실험법칙으로부터 유도되었지만 후에 아래와 같이 수식적으로 유도되었다. 이는 기체의 압력을 수식적으로 정리하는 과정으로부터 나온 결과이다.
유도 과정을 이해하기 위해서는 확률과 전체에 대한 비율이 같은 개념이라는 점을 유념해야한다. 가령 두 주사위를 던져서 나온 눈의 합이 7인 경우는 다음의 표에서 알 수 있듯이 총 36 36 36 6 6 6 7 7 7 7 36 \dfrac{7}{36} 36 7
눈의 합 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 계 경우의 수 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1 36
유도 단위부피당 분자의 수를 n = N / V n = N / V n = N / V
맥스웰-볼츠만 분포
f ( v ) = 4 π ( m 2 k B T ) 3 / 2 v 2 e − m v 2 / 2 k B T
f(v) = \dfrac{4}{\sqrt{ \pi}} \left( \dfrac{m}{2 k_{B} T} \right)^{3/2} v^{2} e^{-mv^2 / 2k_{B}T }
f ( v ) = π 4 ( 2 k B T m ) 3/2 v 2 e − m v 2 /2 k B T
f ( v ) f(v) f ( v ) v v v v v v 단위 부피당 속력이 v v v 를 의미한다.
n f ( v )
nf (v)
n f ( v )
이제 아래와 같이 특정한 방향을 고정했다고 하자. 이를 z z z θ \theta θ ( r , θ , ϕ ) (r,\theta, \phi) ( r , θ , ϕ ) θ \theta θ
입체각 이 Ω \Omega Ω
Ω 4 π = 1 2 sin θ
\dfrac{\Omega}{4\pi} = \dfrac{1}{2}\sin \theta
4 π Ω = 2 1 sin θ
따라서 다음의 식은 단위 부피당, 입체각 0 ∼ Ω 0\sim\Omega 0 ∼ Ω v v v 를 의미한다.
( n f ( v ) ) ( 1 2 sin θ )
\left( n f(v) \right) \left( \dfrac{1}{2} \sin\theta\right)
( n f ( v ) ) ( 2 1 sin θ )
이제 다음 그림과 같이 θ \theta θ A A A v v v
속력이 v v v t t t t t t × \times × t t t A A A
A v t cos θ
Avt \cos\theta
A v t cos θ
따라서 단위면적을 단위시간동안 θ \theta θ v v v 는 다음과 같다.
( n f ( v ) ) ( 1 2 sin θ ) ( v cos θ )
\left( n f(v) \right) \left( \dfrac{1}{2} \sin\theta\right) \left( v \cos \theta \right)
( n f ( v ) ) ( 2 1 sin θ ) ( v cos θ )
힘은 운동량의 변화량 이므로 벽과 충돌한 분자들의 운동량 변화량을 구해보자. 운동량 변화는 벽에 수직한 방향으로만 일어난다. 벽과 가까워 지는 쪽을 + + +
m v cos θ − ( − m v cos θ ) = 2 m v cos θ
mv\cos\theta - (-mv\cos\theta) = 2mv \cos\theta
m v cos θ − ( − m v cos θ ) = 2 m v cos θ
따라서 다음의 식은 단위시간당, θ \theta θ v v v 이 된다.
( n f ( v ) ) ( 1 2 sin θ ) ( v cos θ ) ( 2 m v cos θ )
\left( n f(v) \right) \left( \dfrac{1}{2} \sin\theta\right) \left( v \cos \theta \right) \left( 2mv \cos\theta \right)
( n f ( v ) ) ( 2 1 sin θ ) ( v cos θ ) ( 2 m v cos θ )
따라서 이를 모든 속력 v = 0 ∼ ∞ v = 0 \sim \infty v = 0 ∼ ∞ θ = 0 ∼ π / 2 \theta = 0 \sim \pi/2 θ = 0 ∼ π /2
p = ∫ v = 0 ∞ ∫ θ = 0 π / 2 ( n f ( v ) ) ( 1 2 sin θ ) ( v cos θ ) ( 2 m v cos θ ) d v d θ = n m ∫ v = 0 ∞ f ( v ) v 2 d v ∫ θ = 0 π / 2 cos 2 θ sin θ d θ
\begin{align*}
p &= \int_{v = 0} ^{\infty} \int_{\theta=0}^{\pi/2} \left( n f(v) \right) \left( \dfrac{1}{2} \sin\theta\right) \left( v \cos \theta \right) \left( 2mv \cos\theta \right) dv d\theta
\\ &= nm \int_{v = 0} ^{\infty} f(v) v^{2} dv \int_{\theta=0}^{\pi/2} \cos^{2} \theta \sin\theta d\theta
\end{align*}
p = ∫ v = 0 ∞ ∫ θ = 0 π /2 ( n f ( v ) ) ( 2 1 sin θ ) ( v cos θ ) ( 2 m v cos θ ) d v d θ = nm ∫ v = 0 ∞ f ( v ) v 2 d v ∫ θ = 0 π /2 cos 2 θ sin θ d θ
v v v v 2 v^{2} v 2 기댓값 이다.
∫ v = 0 ∞ f ( v ) v 2 d v = ⟨ v 2 ⟩ = 3 k B T m
\int_{v = 0} ^{\infty} f(v) v^{2} dv = \left\langle v^{2} \right\rangle = \dfrac{3 k_{B} T}{m}
∫ v = 0 ∞ f ( v ) v 2 d v = ⟨ v 2 ⟩ = m 3 k B T
θ \theta θ cos θ = x \cos \theta = x cos θ = x − sin θ d θ = d x -\sin\theta d\theta = dx − sin θ d θ = d x
∫ 1 0 − x 2 d x = − 1 3 x 3 ∣ 1 0 = 1 3
\int_{1}^{0} - x^{2} dx = \left. -\dfrac{1}{3}x^{3} \right|_{1}^{0} = \dfrac{1}{3}
∫ 1 0 − x 2 d x = − 3 1 x 3 1 0 = 3 1
따라서 압력 p p p
p = n m 3 k B T m 1 3 = n k B T
p = n m \dfrac{3 k_{B} T}{m} \dfrac{1}{3} = n k_{B} T
p = nm m 3 k B T 3 1 = n k B T
이때 n = N / V n=N/V n = N / V
p = N k B T V ⟹ p V = N k B T
p=\dfrac{Nk_{B} T}{V} \implies pV = Nk_{B}T
p = V N k B T ⟹ p V = N k B T
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