📂푸리에해석

샘플링 정리

빌드업¹

어떤 물리적 신호 $f$가 시간 $t_{1} < t_{2} < t_{3} < \cdots$에 따라서 측정되고 있다고 생각해보자. $f(t_{1}), f(t_{2}), \dots$를 알고 있다고 해도, 일반적으로는 임의의 $f(t)$ 값을 알 수는 없다. 하지만 여기서 신호 $f$가 특정한 범위 내의 주파수의 신호만 포함한다고 가정해보자. 즉 어떤 상수 $\Omega$보다 작은 주파수만 포함하는 신호 $f$를 생각하자는 것인데, 이러한 $f$를 대역제한 신호^{band-limited signal, 주파수제한 신호}라고 한다.

이를 푸리에 해석의 언어로 말해보면 $\hat{f}(\omega)$가 $|\omega| \ge \Omega$인 영역에서는 함숫값이 전부 $0$이라는 것과 같다. 따라서 $f$가 대역제한이라는 조건은 $\hat{f} (\omega) = 0\ \text{for } | \omega | \ge \Omega$라는 조건과 동치이고, $\hat{f} \in L^{1}$라는 것을 의미한다. 이러한 조건에서는 아래와 같은 강력한 정리가 성립한다.

정리

$f\in L^{2}$이고 $\hat{f} (\omega) = 0\ \text{for } | \omega | \ge \Omega$라고 가정하자. 그러면 $f(t)$는 $n\pi / \Omega (n=0, \pm 1, \pm 2, \dots)$에서의 값들로 결정된다. 즉 다음이 성립한다.

$$f(t) = \sum \limits_{n = -\infty}^{\infty} f \left( \dfrac{n\pi}{\Omega}\right) \dfrac{\sin (\Omega t -n\pi )}{\Omega t - n\pi}$$

설명

이를 샘플링 정리^{sampling theorem}라 한다. 샘플링 정리는 가산개의 함숫값 $f \left( \dfrac{n\pi}{\Omega}\right)$만으로도 모든 $t$에 대한 $f(t)$를 결정할 수 있는 조건을 제시한다.

신호 해석의 관점에서 샘플링 정리를 봤을 때 $\hat{f} (\omega) = 0\ \text{for } | \omega | \ge \Omega$라는 조건은 신호 $f$의 주파수가 제한되어 있다는 말과 같다.

한편 주파수 함수 $\hat{f} \in L^{2}$와 시간제한 신호^{time-limited signal} $f(t)$에 대해서도 위와 같은 꼴의 공식이 성립한다.

주파수 샘플링 정리

$\hat{f} \in L^{2}$이고 $f (t) = 0\ \text{for } | t | \ge L$라고 가정하자. 그러면 $\hat{f}(\omega)$는 $n\pi / L(n=0, \pm 1, \pm 2, \dots)$에서의 값들로 결정된다. 즉 다음이 성립한다.

$$\hat{f}(\omega) = \sum \limits_{n = -\infty}^{\infty} \hat{f} \left( \dfrac{n\pi}{L}\right) \dfrac{\sin (L \omega -n\pi )}{L \omega - n\pi}$$

증명은 시간 샘플링 정리와 같다.

증명

$\hat{f} \in L^{1}$이므로 $\hat{f}$은 푸리에 급수로 표현가능하다. $\hat{f} (\omega)$는 $[-\Omega, \Omega]$에서 정의되어 있으므로 복소 푸리에 급수는 다음과 같다.

$$\begin{equation} \hat{f}(\omega)=\sum_{-\infty}^{\infty} c_{-n} e^{-i n \pi \omega / \Omega} \quad(|\omega| \leq \Omega) \label{eq1} \end{equation}$$

이때 증명 과정에서의 편의를 위해 $n$을 $-n$으로 표기하였다. 계수 $c_{-n}$은 다음과 같다.

$$\begin{align*} c_{-n} &= \dfrac{1}{2 \Omega} \int_{-\Omega}^{\Omega} \hat{f}(\omega) e^{i n \pi \omega / \Omega} d \omega \\ &= \dfrac{1}{2 \Omega} \int_{-\infty}^{\infty} \hat{f}(\omega) e^{i n \pi \omega / \Omega} d \omega \\ &= \dfrac{\pi}{\Omega} \dfrac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \hat{f}(\omega) e^{i \omega (n \pi / \Omega)} d\omega \end{align*}$$

이때 $\hat{f} (\omega) = 0\ for\ | \omega | \ge \Omega$이므로 $\hat{f} (\omega) \in L^{2}$이고, 푸리에 역변환 정리에 의해 다음이 성립한다.

$$\begin{equation} f(t) =\dfrac{1}{2\pi} \int _{-\infty} ^{\infty}\hat{f}(\omega) e^{i\omega t}d\omega \label{eq2} \end{equation}$$

따라서 다음의 식을 얻는다.

$$\begin{align*} c_{-n} &= \dfrac{\pi}{\Omega} \dfrac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \hat{f}(\omega) e^{i \omega (n \pi / \Omega)} d\omega \\ &= \dfrac{\pi}{\Omega} f \left( \dfrac{n\pi}{\Omega}\right) \end{align*}$$

이를 $\eqref{eq1}$에 대입하면 다음을 얻는다.

$$\hat{f}(\omega) = \sum_{-\infty}^{\infty} c_{-n} e^{-i n \pi \omega / \Omega} \quad(|\omega| \leq \Omega) = \sum_{-\infty}^{\infty} \dfrac{\pi}{\Omega} f \left( \dfrac{n\pi}{\Omega}\right) e^{-i n \pi \omega / \Omega} \quad(|\omega| \leq \Omega)$$

다시 이를 $\eqref{eq2}$에 대입하면 아래의 식을 얻는다.

$$\begin{align*} f(t) &= \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} \hat{f}(\omega) e^{i \omega t} d \omega = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\Omega}^{\Omega} \hat{f}(\omega) e^{i \omega t} d \omega \\ &=\frac{1}{2 \Omega} \int_{-\Omega}^{\Omega} \sum_{-\infty}^{\infty} f\left(\frac{n \pi}{\Omega}\right) e^{-i n \pi \omega / \Omega} e^{i \omega t} d \omega \end{align*}$$

함수공간에서는 내적이 정적분으로 정의되고, 내적은 연속 이므로 극한을 밖으로 빼낼 수 있으므로 위 식은 다음과 같다.

$$\begin{align*} f(t) &= \frac{1}{2 \Omega} \int_{-\Omega}^{\Omega} \sum_{-\infty}^{\infty} f\left(\frac{n \pi}{\Omega}\right) e^{-i n \pi \omega / \Omega} e^{i \omega t} d \omega \\ &= \frac{1}{2 \Omega} \left\langle \sum_{-\infty}^{\infty} f\left(\frac{n \pi}{\Omega}\right) e^{-i n \pi \omega / \Omega}, e^{-i \omega t} \right\rangle \\ &= \frac{1}{2 \Omega} \sum_{-\infty}^{\infty} \left\langle f\left(\frac{n \pi}{\Omega}\right) e^{-i n \pi \omega / \Omega}, e^{-i \omega t} \right\rangle \\ &= \frac{1}{2 \Omega} \sum_{-\infty}^{\infty} \int_{-\Omega}^{\Omega} f\left(\frac{n \pi}{\Omega}\right) e^{-i n \pi \omega / \Omega} e^{i \omega t} d \omega \\ &= \frac{1}{2 \Omega} \sum_{-\infty}^{\infty} f\left(\frac{n \pi}{\Omega}\right) \int_{-\Omega}^{\Omega} e^{-i n \pi \omega / \Omega} e^{i \omega t} d \omega \end{align*}$$

위의 적분을 계산해보면 다음과 같다.

$$\begin{align*} \int_{-\Omega}^{\Omega} e^{-i n \pi \omega / \Omega} e^{i \omega t} d \omega &= \int_{-\Omega}^{\Omega} e^{i(\Omega t- n \pi )\omega/\Omega} d \omega \\ &= \left. \frac{e^{i(\Omega t-n \pi) \omega / \Omega}}{i(\Omega t-n \pi) / \Omega}\right|_{-\Omega} ^{\Omega} \\ &= \frac{1}{i(\Omega t-n \pi) / \Omega}\left[ e^{i(\Omega t-n \pi)} - e^{-i(\Omega t-n \pi)} \right] \\ &= \frac{2}{(\Omega t-n \pi) / \Omega}\dfrac{ e^{i(\Omega t-n \pi)} - e^{-i(\Omega t-n \pi)}}{2i} \\ &= \frac{2 \sin (\Omega t-n \pi)}{(\Omega t-n \pi) / \Omega} \end{align*}$$

대입해서 정리하면 아래와 같다.

$$\begin{align*} f(t) &= \frac{1}{2 \Omega} \sum_{-\infty}^{\infty} f\left(\frac{n \pi}{\Omega}\right) \int_{-\Omega}^{\Omega} e^{-i n \pi \omega / \Omega} e^{i \omega t} d \omega \\ &= \frac{1}{2 \Omega} \sum_{-\infty}^{\infty} f\left(\frac{n \pi}{\Omega}\right) \frac{2 \sin (\Omega t-n \pi)}{(\Omega t-n \pi) / \Omega} \\ &= \sum_{-\infty}^{\infty} f\left(\frac{n \pi}{\Omega}\right) \frac{2 \sin (\Omega t-n \pi)}{\Omega t-n \pi} \end{align*}$$

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