📂선형대수

유한차원 벡터공간에서 기저일 필요충분조건

정리¹

$V$를 $n$차원 벡터공간이라고 하자. 부분집합 $S\subset V$가 $n$개의 원소를 갖는다고 하자. $S$가 $V$의 기저일 필요충분조건은 $V = \text{span}(S)$이거나 $S$가 선형독립인 것이다.

설명

벡터공간, 차원, 기저, 생성, 독립 등 선형대수에서 중요한 기초 개념이 모두 등장한다. 임의의 집합이 벡터공간의 기저가 되려면 벡터공간을 생성하는 선형독립 집합이어야 한다. 일반적으로는 두 조건에 대해서 각각 보여야하지만, 차원과 같은 수의 원소를 갖는 집합은 둘 중 하나만 성립하면 나머지 하나도 성립한다.

증명

한쪽방향은 자명하기 때문에 사실상 $S$가 $V$를 생성하는 것과 $S$가 선형독립인 것은 필요충분조건이라는 것을 증명하는 것과 같다.

• $(\implies)$

  기저의 정의에 의해서 자명하다. $S$가 $V$의 기저이면 $S$는 $V$를 생성하고, 선형독립이다.

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• $(\impliedby)$

  • $S$가 $V$를 생성하면 선형독립이다

    $S$가 $V$를 생성한다고 하자. 그리고 $S$가 선형독립이 아니라고 가정하자. 그러면 어떤 벡터 $\mathbf{v} \in S$는 $S$ 내의 다른 벡터들의 선형결합으로 표현된다.² 그러면 이 $\mathbf{v}$를 $S$에서 제외시켜도 여전히 같은 공간을 생성한다. 그런데 차원보다 작은 수의 원소를 갖는 집합은 벡터공간을 생성할 수 없다. 이는 모순이므로 $S$가 선형독립이 아니라는 가정이 잘못되었다는 것을 알 수 있다. 따라서 $S$는 선형독립이다.

  • $S$가 선형독립이면 $V$를 생성한다.

    $S$가 선형독립이라고 하자. 그리고 $S$가 $V$를 생성하지 못한다고 가정하자. 이는 생성의 정의에 의해서 $\text{span}(S)$에 포함되지 않는 어떤 $\mathbf{v} \in V$가 존재한다는 말과 같다. 그러면 이 벡터 $\mathbf{v}$를 $S$에 추가해도 여전히 $V$는 선형독립이다. 그런데 차원보다 큰 수의 원소를 갖는 집합은 선형종속이다. 이는 모순이므로 $S$가 $V$를 생성하지 못한다는 가정이 잘못되었다는 것을 알 수 있다. 따라서 $S$는 $V$를 생성한다.

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